№ 2674 
Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 26. Комплексные числа: уравнения и системы
i
Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие двум условиям: 
и 
Решение. Пусть 
тогда 
и
откуда получаем систему
Ответ: 
Приведем другое решение.
Представим искомое число z в тригонометрической форме:
где
— аргумент числа
z. При этом, поскольку
и
то
По формуле Муавра:
То есть при возведении в квадрат, аргумент удваивается (см. рис.). При этом мы получаем число
модуль которого
а аргумент
удовлетворяет условиям
и
причем достаточно положить
— угол первой четверти. Отсюда следует, что
то есть
и, поскольку аргумент комплексного числа определен с точностью до слагаемого, кратного
то
Рассматривая случаи четных и нечетных значений целого числа n, получаем всего две возможности (с точностью до 
) для аргумента комплексного числа z
Поскольку — угол первой четверти, то и угол 
тоже находится в первой четверти. Поэтому в случае 
не выполняется условие А в случае 
условие 
выполняется, и мы получаем
Ответ:
Рассмотренный второй способ является громоздким, хотя в нем и реализуется простая геометрическая идея, связанная с возведением в квадрат комплексного числа.
Приведем еще одно решение.
Преобразуем правую часть исходного уравнения
Отсюда 
и 
не удовлетворяет условию задачи, а 
— удовлетворяет.
Ответ:
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 2668
