PDF-версии: 
Найдите площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком функции 
Решение. Так как график данной функции и ось абсцисс имеют только две общие точки M1 (−2; 0) и M2 (0; 0), то площадь фигуры, ограниченной этими линиями можно найти как
(Отметим, что, поскольку интеграл вычислялся на отрезке [-2; 0], то 
и |x| = −x).
Ответ: 
Замечание. Следует предостеречь читателя от возможной ошибки. Использованный только что метод нельзя бездумно переносить на случай фигуры, образованной двумя линиями, имеющими более двух точек пересечения. Например, графики 
и 
имеют три точки пересечения с осью абсцисс: −1; 0 и 1 (т. е. проекция соответствующей фигуры на ось x — отрезок [−1; 1]).
С одной стороны
в то время как истинная площадь фигуры есть
Отсюда также видно, как действовать в общем случае: площадь фигуры вычисляется как сумма модулей интегралов на интервалах знакопостоянства разности соответствующих функций.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и прямой 
Есть ли среди них точки касания?
и решим его методом разложения на множители.
и функции 
M1(−1; −9) M2(5; 45).
в точке M1
и 
и 
— точка касания.
Так как необходимо 
т. е. 
то 
где 
тогда 
и
— решений нет, так как 
Пара 
не удовлетворяет исходной системе, так как при этих значениях выражение 
не определено.
тогда
что не удовлетворяет исходной системе, так как выражение 
не определено. Для t = −4 получим 
определенную и дифференцируемую на (0; + ∞), ее производная 
и функция f(x) возрастает на (0; 1], т. е. для 
При 
Таким образом, f(1) — наибольшее на (0; + ∞) значение функции f(x).
и поэтому для любых 
выполняется 
Следовательно, неравенство (*) верно либо при x = 1, либо при 
т. е. 
найдется такое, что 
существуют лишь при 
На комплексной плоскости это либо точка 
при p = 0, либо замкнутый круг радиуса p с центром в точке 
имеют аргумент 𝜑, для которого 
т. е. 
Таким образом, эти комплексные числа располагаются на четырех прямых:
не лежит ни на одной из этих прямых (см. рис.). Ближайшая к ней прямая либо x = 0 (с расстоянием MP = 1), либо 
расстояние до которой 
(так как 
), 
(прямая 
), отсюда 
Отсюда следует, что MQ < MP и прямая 
чисел z, удовлетворяющих условиям задачи, нет. При 
такое число одно (ему соответствует точка Q). При 
таких чисел бесконечно много, так как среди них есть, по крайней мере, все, лежащие на некотором отрезке прямой 