Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2603
i

Най­ди­те общие точки гра­фи­ка функ­ции y=x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 5 и пря­мой y=9x. Есть ли среди них точки ка­са­ния?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние x в кубе плюс 3x в квад­ра­те минус 5 = 9x и решим его ме­то­дом раз­ло­же­ния на мно­жи­те­ли.

x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 9x минус 5 = 0 рав­но­силь­но x в кубе плюс x в квад­ра­те минус 4x в квад­ра­те минус 4x минус 5x минус 5 = 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 4x левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5 левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 4x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус 1,x = 5. конец со­во­куп­но­сти .

Таким об­ра­зом, име­ют­ся две общие точки гра­фи­ка пря­мой y = 9x и функ­ции y = x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 5: M1(−1; −9) M2(5; 45).

Вы­чис­лим в каж­дой из точек зна­че­ние про­из­вод­ной: y' = 3x в квад­ра­те минус 6x в точке M1

y' левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =9 и y = 9x  — ка­са­тель­ная; в точке M2 y' левая круг­лая скоб­ка 5 пра­вая круг­лая скоб­ка = 45 и y = 9x не яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной.

 

Ответ: M_1 левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка ; M_2 левая круг­лая скоб­ка 5;45 пра­вая круг­лая скоб­ка ; M_1  — точка ка­са­ния.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2597

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции, Ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы
?
Сложность: 6 из 10