Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2604
i

Ре­ши­те урав­не­ние  минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x минус Пи пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вос­поль­зу­ем­ся три­го­но­мет­ри­че­ски­ми фор­му­ла­ми и по­лу­чим урав­не­ние  минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из 2 . Так как не­об­хо­ди­мо  минус ко­си­нус x боль­ше или равно 0, т. е.  ко­си­нус x мень­ше или равно 0, то  минус ко­рень из 2 ко­си­нус x плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из 2 = 0.

Пусть  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = t, где t боль­ше или равно 0, тогда  минус ко­си­нус x = t в квад­ра­те и

 минус ко­рень из 2 t в квад­ра­те плюс 3t минус ко­рень из 2 = 0 рав­но­силь­но ко­рень из 2 t в квад­ра­те минус 3t плюс ко­рень из 2 = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t = ко­рень из 2 ,t = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

От­сю­да

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из 2 , ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Из пер­во­го урав­не­ния этой со­во­куп­но­сти по­лу­ча­ем  ко­си­нус x = минус 2,  — ре­ше­ний нет, так как  минус 2 мень­ше минус 1.

Далее, из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем рав­но­силь­ное урав­не­ние

 ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x = \pm дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2598

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния , Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
?
Сложность: 7 из 10