Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2602
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной осью абс­цисс и гра­фи­ком функ­ции y=|x| левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Так как гра­фик дан­ной функ­ции и ось абс­цисс имеют толь­ко две общие точки M1 (−2; 0) и M2 (0; 0), то пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной этими ли­ни­я­ми можно найти как

 S = \left | ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка |x| dx | = \left | ин­те­грал пре­де­лы: от минус 2 до 0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка dx |=
= \left | левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка | | пре­де­лы: от минус 2 до 0, = \left | 0 минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка | = целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 .

(От­ме­тим, что, по­сколь­ку ин­те­грал вы­чис­лял­ся на от­рез­ке [-2; 0], то x мень­ше или равно 0 и |x|  =  −x).

 

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние. Сле­ду­ет предо­сте­речь чи­та­те­ля от воз­мож­ной ошиб­ки. Ис­поль­зо­ван­ный толь­ко что метод нель­зя без­дум­но пе­ре­но­сить на слу­чай фи­гу­ры, об­ра­зо­ван­ной двумя ли­ни­я­ми, име­ю­щи­ми более двух точек пе­ре­се­че­ния. На­при­мер, гра­фи­ки y = x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и y = 0 имеют три точки пе­ре­се­че­ния с осью абс­цисс: −1; 0 и 1 (т. е. про­ек­ция со­от­вет­ству­ю­щей фи­гу­ры на ось x  — от­ре­зок [−1; 1]).

С одной сто­ро­ны

 \left | ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 1, x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx | = \left | левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | | пре­де­лы: от минус 1 до 1, = 0,

в то время как ис­тин­ная пло­щадь фи­гу­ры есть

 S = \left | ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 0, x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx | плюс \left | ин­те­грал \limits_0 в сте­пе­ни 1 x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка dx |= \left | левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | | пре­де­лы: от минус 1 до 0, плюс \left | левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | | пре­де­лы: от 0 до 1, = 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

От­сю­да также видно, как дей­ство­вать в общем слу­чае: пло­щадь фи­гу­ры вы­чис­ля­ет­ся как сумма мо­ду­лей ин­те­гра­лов на ин­тер­ва­лах зна­ко­по­сто­ян­ства раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих функ­ций.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2596

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 5 из 10