Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2605

Решите систему уравнений  система выражений \log _3 левая круглая скобка 13 минус 6xy плюс 8x в квадрате правая круглая скобка =\log _3 левая круглая скобка 3 минус y в квадрате правая круглая скобка , \log _xy минус \log _y2x плюс 1=0. конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Следствие исходной системы:

 система выражений 3 минус 6xy плюс 8x в квадрате = 3 минус y в квадрате , логарифм по основанию x y минус логарифм по основанию y 2x плюс 1 = 0 конец системы . \Rightarrow система выражений y в квадрате минус 6xy плюс 8x в квадрате = 0, логарифм по основанию x y минус логарифм по основанию y 2x плюс 1 = 0 конец системы . \Rightarrow

\Rightarrow совокупность выражений система выражений y = 2x, логарифм по основанию x 2x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2x правая круглая скобка 2x плюс 1 = 0, конец системы . система выражений y = 4x, логарифм по основанию x 4x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4x правая круглая скобка 2x плюс 1 = 0 конец системы . конец совокупности . \Rightarrow система выражений совокупность выражений y = 2x, логарифм по основанию x 2x = 0, конец системы . совокупность выражений y = 4x, дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 x, знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби минус дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 x, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 2 x конец дроби плюс 1 = 0. конец совокупности . конец совокупности .

Решим  логарифм по основанию x 2x = 0 равносильно x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Пара  система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y = 1 конец системы . не удовлетворяет исходной системе, так как при этих значениях выражение  логарифм по основанию y 2x не определено.

Для второй системы последней совокупности положим  логарифм по основанию 2 x = t, тогда

 дробь: числитель: 2 плюс t, знаменатель: t конец дроби минус дробь: числитель: 1 плюс t, знаменатель: 2 плюс t конец дроби плюс 1 = 0 \underset t левая круглая скобка 2 плюс t правая круглая скобка не равно 0\mathop равносильно 4 плюс 4t плюс t в квадрате минус t минус t в квадрате плюс t плюс t в квадрате = 0 равносильно t в квадрате плюс 5t плюс 4 = 0 равносильно совокупность выражений t = минус 1,t = минус 4. конец совокупности .

Вернемся к исходной переменной. Для t = −1 получим  логарифм по основанию 2 x = минус 1 \Rightarrow система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,y = 2, конец системы . что не удовлетворяет исходной системе, так как выражение  логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 минус y в квадрате правая круглая скобка не определено. Для t = −4 получим  логарифм по основанию 2 x = минус 4 \Rightarrow система выражений x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ,y = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби . конец системы .

Эта пара значений удовлетворяет исходной системе уравнений, так как при этих значениях определены все функции, входящие в систему.

 

Ответ:  левая фигурная скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 2599

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1994 год, работа 1, вариант 2
? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы
?
Сложность: 8 из 10