PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
в) Пусть 
Решите уравнение 
г) Пусть 
Найдите с точность до 
положительный корень уравнения 
Решение. а) Запишем неравенство в виде
Обозначая 
получим 
Корнями уравнения 
будут 
поэтому решение неравенства — промежуток 
тогда 
Ясно, что 
поэтому на самом деле 
отсюда 
б) Запишем уравнение в виде
Обозначим тогда каждому корню данного уравнения соответствует ровно один положительный корень уравнения 
Тем самым вопрос свелся к такому — какие значения функция 
принимает на луче 
ровно один раз?
Эта функция — квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом, значит, она возрастает при 
и убывает при 
На промежутке 
она принимает все значения из промежутка 
по одному разу, на промежутке 
— все значения из промежутка 
по одному разу. Значит, нам подходит 
и еще 
в) Запишем уравнение в виде 
и возведем его в квадрат, запомнив что 
то есть 
тогда 
или 
Заметим, что при 
функции 
и 
возрастают, поэтому возрастает и их сумма. Следовательно, это уравнение не может иметь больше одного корня. Нетрудно проверить, что 
подходит.
г) Запишем уравнение в виде 
Заметим, что при 
получим
поэтому на этом участке корней нет. При 
функция 
убывает, поскольку ее производная:
Значит, это уравнение имеет не более одного положительного корня. Пусть 
Тогда
довольно близко к правильному ответу. Докажем, что 
В самом деле:
Докажем, что 
тогда
Итак, осталось доказать, что 
или 
Это верно. Доказательство этого утверждения является частью доказательства корректности определения числа e, в этом доказательстве в частности устанавливается, 
Ответ: а) 
б) 
в) −1; г) 6.
б) в) −1; г) 6. б) в) −1; г) 6.
являются корнями функции f.
Решите неравенство 
Решите уравнение 
при которых период функции f равен 
получаем 
и
При 
получаем 
и
Совмещая эти условия, получим: 
тогда 
т. е.
получим 
при 
Либо 
тогда второй множитель всегда положителен и не влияет на знак. Сократим его и получим неравенство 
при 
попадают на такие отрезки при четных k и не попадают при нечетных, поэтому придется добавить в ответ только соответствующие точки с нечетными k, 
получим уравнение 
при 
(а при 
уравнение 
не имеет корней). Первое уравнение дает 
тогда 
при 
(что сразу запрещает 
) и 
(поэтому при 
решений тоже нет). При 
получаем что 
такой случай мы уже разбирали. Если же 
то 
и уравнение дает
и 
Поэтому: 
и 
или 
и 
Сложив эти уравнения, получим 
откуда 
Тогда первое уравнение дает 
или 
отсюда 
выполнено и для всех остальных x. Для этого преобразуем функцию
поскольку 
в) 
при любом b; 
при 
г) a = b =−3.
называется гауссовым, если a и b — целые числа. Говорят, что гауссово число z кратно числу w, если 
где w и u — гауссовы числа. Пусть 
— множество всех гауссовых чисел, кратных 
и 
и 
то z кратно 
такие что 
такое что 
Число 
тогда и только тогда, когда z — гауссово, но 
и 
делятся на 5. 
то можно записать:
где x и y — целые числа.
то 
так что 
Окончательно получаем: 
заметим, что, поскольку числа u и v гауссовы, 
тоже рационально. С другой стороны, если 
то 
а потому 
рационально, а число 
иррационально, то 
— иррациональное число, но оно, очевидно, равно 
имеют вид
где 
вершины которого — числа из множества K. Понятно, что можно ограничиться рассмотрением гауссовых чисел, лежащих внутри или на сторонах квадрата OABC, где A — соответствует числу 
B — числу 
C — числу 
(остальные случаи можно свести к этому соответствующим параллельным переносом). Но для этих чисел (это числа 0, i, 2i, 
км. Известно, что радиоволны, на которых ведется телевещание, распространяются по прямой. Предположим, что телепередатчик расположен на высоте h от земной поверхности. Обозначим через 
расстояние по поверхности Земли от основания телебашни (или от той точки Земли, которая расположена ближе всего к ретрансляционному спутнику) до самой дальней точки, в которой возможен прием телепередачи.
ю. ш.
AB, AC — касательные к окружности, 
(точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). По условию должно выполняться неравенство 
для этого необходимо и достаточно, чтобы:
ясно, что 
Заметим, что
то 
и 
Поэтому 
длина дуги BM равна 
Дуга CM — четверть экватора, 
(точке A соответствует положение передатчика, точке O — центра Земли). Требуется доказать, что длина дуги BC не меньше 100 км. Но эта длина равна 
Выводим:
AB — касательная к окружности в точке C, 
длина дуги BC равна 
Поскольку 
то 
таким образом, 
км. Получим: 
причём
— число 
То, что оно принадлежит этому интервалу следует из двойного неравенства
отличается от 40 меньше, чем на единицу, то число участков между соседними мачтами (при выбранном нами и тем более при всяком ином способе их расположения) должно быть не меньше 40, но это и означает, что нужно не менее 41 мачты.
км; в) см. рис.
— многочлен степени n.
и что 
Найдите 
Пусть 
и 
причем 
Докажите, что число, делящее отрезок 
в отношении 
является третьим корнем этого многочлена.
Найдите все a, при которых многочлен 
имеет ровно два действительных корня.
Найдите все 
при которых уравнение 
имеет 1000 различных действительных корней.
тогда 
и 
в виде 
где 
а t — некое число. Теперь запишем: 
и 
и делит его в отношении 
не является корнем уравнения 
то его можно записать в виде 
Исследуем функцию 
и построим эскиз её графика. Поскольку 
и 
возрастает на 
Также 
Теперь ответ очевиден.
Заметим, что на интервалах 
эта функция принимает положительные значения, а на интервалах 
— отрицательные 
Ясно, что уравнение 
имеет ровно два решения на отрезке 
если 
где Mk — наибольшее значение этой функции на этом отрезке (наличие двух корней следует из непрерывности, больше же двух корней быть не может, ибо в противном случае на отрезке оказалось бы более одной точки, в которой производная функции 
обращается в нуль, что невозможно, ибо уравнение 
не может иметь более 999 решений). На каждом из лучей 
и 
уравнение 
где M — наименьшее из чисел 
на отрезке 
равно 
В самом деле, сделаем замену 
получим, что наибольшее значение функции 
равно наибольшему значению функции 
на отрезке 
Но на отрезке 
эта функция, очевидно, возрастает, а на отрезке 
убывает, 
больше числа 
Для этого достаточно убедиться в том, что число 
где 
Но это очевидно — ограничимся случаем 
тогда:
