PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) При каких значениях a уравнение 
имеет ровно два различных корня?
г) Пусть 
где 
и 
— число различных корней уравнения 
Постройте график функции n.
Решение. а) Рассмотрим многочлен
Так как 
данное неравенство равносильно неравенству 
которое решаем методом интервалов. Значит, 
откуда и получаем ответ.
б) Так как 
то получаем уравнение 
или, после преобразований, 
в) Число решений данного уравнения совпадает с числом решений уравнения 
которое равно двум, если a — значение функции g в ее экстремальных точках (см. рис), которые находим из уравнения 
или 
Значит, 
откуда 
или 
г) Пусть 
тогда уравнение 
равносильно уравнению 
или, после упрощений,
После сокращения на c получаем уравнение, дискриминант которого равен 
значит, оно имеет два решения при 
одно при 
ни одного при остальных значениях c. Случай 
особый (имеем тождество) и исключен по условию задачи.
Ответ: 
и 
и 
—
с графиками функций f и g. При каких m длина отрезка с концами в этих точках равна единице?
равна 
поэтому она равна единице, если 
или 
Замена 
приводит к уравнениям 
откуда 
или 
то это значение t не имеет отношения к исходному уравнению.
и 
поскольку его середина имеет абсциссу
тогда и только тогда, когда разрешима система 
Преобразуя: 
которое имеет решение лишь если 
а при выполнении этого неравенства имеет решение и исходная система. Осталось заметить, что полученное неравенство задает множество, ограниченное кривыми 
задана формулой 
а 
то данная последовательность монотонна.
то при всех натуральных n верно неравенство 
то 
и 
следовательно, 
Нетрудно доказать по индукции, что 
Неравенство 
имеет вид 
или 
что верно.
то 
далее, 
Если неравенство 
верно, то 
значит, 
при всех натуральных n. Наконец, 
поэтому, если 
то 
значит, 
тогда 
xq — целое и, более того, все члены xn, где 
также являются целыми. Так как 
то 
при всех 
—
то 
(O — начало координат).
Найдите множество значений радиусов окружностей, описанных около треугольника ABC.
—
и 
переводит треугольник с вершинами 
значит, (см. пункт а), точка O — центр описанной около данного треугольника окружности с радиусом 
При 
треугольник вырождается, при остальных значениях z, где 
поэтому для площади S подобного ему треугольника ABC (см. пункт б)) получаем формулу 
а 
Достаточно рассматривать случай, когда 
тогда 
производная примет вид 
при 
является наибольшим.
и 
(см. пункт г)).
и 
(см. рис.), а образы путей которых на развертках параллелепипеда являются отрезками. Поскольку 
и 
то 
если 
и 
то есть 
и 
Осталось заметить, что в этом случае 
и 
и 
а 