PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
на отрезке 
в) Сравните числа 
и 1.
г) Найдите множество значений функции 
Решение. а) Так как 
надо решить уравнение 
Обозначим 
и, решая уравнение 
получим 
или 
Теперь решим уравнения 
и 
б) Найдем корни числителя и знаменателя из отрезка 
— это числа 
Нанесем их на ось и воспользуемся методом интервалов (см. рис.). Получим: 
в) Достаточно сравнить числа 
и 
(очевидно, что 
). Но 
поэтому
Значит, 
тогда 
г) Заметим, что 
Поэтому, очевидно, что множество значений непрерывной функции f на промежутке 
содержит все числа из луча 
Функция f нечетная как частное четной и нечетной функции, а потому множество значений функции f — все вещественные числа.
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) б) в) г) 
имеет ровно два решения.
Обозначая 
получаем неравенство 
Отсюда: 
Теперь решим неравенство 
Решая уравнения
получаем ответ: 
Она, очевидно, убывает на луче 
и возрастает на луче 
возрастает на луче 
и 
при 
имеем ответ: функция f на промежутке 
убывает, а на луче 
— возрастает. 
Обозначим 
Достаточно выяснить, существует ли такое число b, что уравнение 
имеет ровно два решения. Но оно имеет или одно решение 
или бесконечно много решений 
имеет ровно два решения 
и 
Пусть, например, 
(
очевидно, не подходит, но для 
можно провести аналогичное рассуждение). Ясно, что 
Но пользуясь проведенным исследованием на монотонность, заключаем, что 
Но тогда 
— противоречие.
б) 
в) на 
и 
Найдите наименьшее значение расстояния между точками комплексной плоскости, соответствующими z и u.
Найдите наибольшее значение площади треугольника с вершинами в точках, соответствующих z и u, и начале координат O.
где 
Тогда 
Отсюда 
но 
Покажем, что угол OAB может быть равен 
Для этого достаточно предъявить такое z, что 
а 
(теорема, обратная теореме Пифагора). Но пусть 
тогда 
то 
Итак, существует такое число z, что в треугольнике OAB прямой угол OAB, но тем самым наибольшее возможное значение площади — 
б) см. рис.; в) 2; г) 1.
параллельных оси абсцисс.
на отрезке 
для 
при 
и на луче 
убывает на промежутке 
и на промежутке 
равна интегралу 
Но эта площадь заведомо меньше площади прямоугольника, образованного прямыми 
Но эта площадь равна 
при 
если 
или 
Исследуем функцию g на луче 
и возрастает на луче 
то наименьшее значение функции g равно 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми 
например, для 
Заметим, что для всех 
и для любого 
поэтому ясно, что 
площади соответствующих криволинейных трапеций больше, чем 
Таким образом, остается найти значение этого интеграла. 
б) см. рис.; г) 
такими, что 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет целое решение.
имеет решение на отрезке 
Оно, очевидно, равносильно системе 
не имеет решений, если 
не имеет решений в целых числах, если 
и является четным числом, имеет целое решение, если 
где 
тогда имеем: 
Итак, уравнение 
имеет целое решение в 8 случаях из 31
б) см. рис.; в) 
г) 