PDF-версии: 
Найдите сумму всех таких чисел z, что 
Укажите одно из таких чисел.
Решение. Заметим, что уже из самой формулировки задания можно понять, что сумму корней уравнения можно найти без вычисления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения 
есть коэффициент перед 
взятый с противоположным знаком (обобщенная теорема Виета), то есть 
Представим правую часть исходного уравнения в тригонометрической форме, получим
Ответ: 
один из корней 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
один из корней один из корней 
перейдем к системе, равносильной исходному уравнению:
перейдем к неравенству 
и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.
Она может быть касательной к параболе 
— полный квадрат, то есть дискриминант трехчлена 
равен нулю
соответствует касательной 
точка касания 
Значение 
соответствует касательной 
точка касания 
площади 
приходим к выводу, что 
она монотонна (
при всех a для 
а для 
) и каждое свое значение принимает только один раз.
то функция имеет два экстремума, и для того, чтобы значение, равное 1, принималось ровно 3 раза, необходимо и достаточно, чтобы оно принималось на промежутке между экстремумами. Найдем корни производной:
или при 
Тогда вопрос задачи можно переформулировать: при каких a уравнение 
имеет хотя бы одно решение? Изобразим на одно рисунке график 
и все возможные графики вида 
(Каждый из таких графиков получается сдвигом графика 
на a единиц влево).
и 
(см. рис.), где 
и параболы
то есть выражение 
— полный квадрат; дискриминант трехчлена 
равен нулю:
и параболы 
то есть 
— полный квадрат; дискриминант трехчлена 
равен нулю:
