PDF-версии: 
Найдите сумму таких чисел z, что 
Укажите одно из таких чисел.
Решение. Заметим, что уже из самой формулировки задания можно понять, что сумму корней уравнения можно найти без вычисления самих корней. Действительно, сумма корней уравнения 
есть коэффициент перед 
взятый с противоположным знаком (обобщенная теорема Виета), то есть 
Приведем и другое возможное обоснование. Пусть 
— корень уравнения. Тогда также является его корнем, так как 
и сумма всех корней равна нулю.
Допустимо и такое решение. Представив правую часть исходного уравнения в тригонометрической форме, получим
Далее вычисляем сумму всех корней и получаем ноль.
Ответ: 
один из корней 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
один из корней один из корней 
Получим
и 
и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.
проходящей через точку графика 
Так как 
то уравнение касательной имеет вид
соответствует касательной 
точка касания 
Значение 
соответствует касательной 
точка касания 
и 
Поскольку график функции 
как непрерывную и дифференцируемую на 
функцию 
и выясним, при каких a она принимает значение, равное 1, только один раз. Производная функции равна 
В этом случае таблица монотонности функции 
имеет вид, представленный на рисунке а). Поскольку 
а 
то значение, равное единице, принимается один раз, если 
то есть при 
Учитывая, что 
получим для первого случая все a, удовлетворяющие условию задачи: 
В этом случае 
и функция принимает значение 1 ровно один раз.
Таблица монотонности для этого случая приведена на рисунке б). Так как 
то значение 1 принимается один раз при всех рассматриваемых a, то есть 
Перепишем данное равенство как уравнение 
после чего переформулируем задачу: при каких значениях a уравнение 
имеет хотя бы одно решение?
на отрезке 
Поскольку наибольшее и наименьшее значения квадратного трехчлена на отрезке могут достигаться только в его вершине (если она принадлежит отрезку) или на концах отрезка, то достаточно посчитать значения трехчлена 
) и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Эти значения равны: 2 при 
4 при 
и 4,25 при 
Таким образом, первая система имеет решения при 
на отрезке 
исходное уравнение 