Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2588
i

Най­ди­те все такие числа a, для каж­до­го из ко­то­рых су­ще­ству­ет толь­ко одно число b, такое, что b в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка b плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим вы­ра­же­ние b в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка b плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка как не­пре­рыв­ную и диф­фе­рен­ци­ру­е­мую на  R функ­цию f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка =b в кубе плюс b в квад­ра­те a и вы­яс­ним, при каких a она при­ни­ма­ет зна­че­ние, рав­ное 1, толь­ко один раз. Про­из­вод­ная функ­ции равна

f' левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка =3b в квад­ра­те плюс 2ab=3b левая круг­лая скоб­ка b плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби a пра­вая круг­лая скоб­ка .

В за­ви­си­мо­сти от знака a воз­мож­ны три слу­чая.

Пер­вый слу­чай: а боль­ше 0. В этом слу­чае таб­ли­ца мо­но­тон­но­сти функ­ции f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка имеет вид, пред­став­лен­ный на ри­сун­ке а). По­сколь­ку f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4a в кубе , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби , а f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, то зна­че­ние, рав­ное еди­ни­це, при­ни­ма­ет­ся один раз, если  дробь: чис­ли­тель: 4a в кубе , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби мень­ше 1, то есть при a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Учи­ты­вая, что a боль­ше 0, по­лу­чим для пер­во­го слу­чая все a, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию за­да­чи: 0 мень­ше a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

а)

б)

 

 

Вто­рой слу­чай: a=0. В этом слу­чае f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка =b в кубе , и функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 ровно один раз.

Тре­тий слу­чай: a мень­ше 0. Таб­ли­ца мо­но­тон­но­сти для этого слу­чая при­ве­де­на на ри­сун­ке б). Так как f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1, то зна­че­ние 1 при­ни­ма­ет­ся один раз при всех рас­смат­ри­ва­е­мых a, то есть a мень­ше 0.

Объ­еди­няя три слу­чая, по­лу­ча­ем, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют все a мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень 3 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2594

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10