Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2584
i

Най­ди­те сумму таких чисел z, что z в сте­пе­ни 4 = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус i. Ука­жи­те одно из таких чисел.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что уже из самой фор­му­ли­ров­ки за­да­ния можно по­нять, что сумму кор­ней урав­не­ния можно найти без вы­чис­ле­ния самих кор­ней. Дей­стви­тель­но, сумма кор­ней урав­не­ния z в сте­пе­ни 4 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс i=0 есть ко­эф­фи­ци­ент перед z в сте­пе­ни 4 , взя­тый с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком (обоб­щен­ная тео­ре­ма Виета), то есть z_1 плюс z_2 плюс z_3 плюс z_4=0.

При­ве­дем и дру­гое воз­мож­ное обос­но­ва­ние. Пусть z_0  — ко­рень урав­не­ния. Тогда z_0 также яв­ля­ет­ся его кор­нем, так как  левая круг­лая скоб­ка z_0 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 = левая круг­лая скоб­ка минус z_0 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 4 , и сумма всех кор­ней равна нулю.

До­пу­сти­мо и такое ре­ше­ние. Пред­ста­вив пра­вую часть ис­ход­но­го урав­не­ния в три­го­но­мет­ри­че­ской форме, по­лу­чим

z в сте­пе­ни 4 =2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но z= ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где k при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 0;1;2;3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . Далее вы­чис­ля­ем сумму всех кор­ней и по­лу­ча­ем ноль.

 

Ответ: z_1 плюс z_2 плюс z_3 плюс z_4=0; один из кор­ней  ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2590

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1993 год, ра­бо­та 5, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми и их си­сте­мы
?
Сложность: 5 из 10