Решите уравнение 
Решение. Преобразуем 
перейдя к тригонометрической форме записи комплексного числа:
Подставим найденное значение и разложим на множители:
Решим эти уравнения, записав z в тригонометрической форме. Пусть 
тогда 
Если 
то
откуда 
и 
где 
Для получения всех возможных ответов достаточно взять k = 0, 1, 2, получим:
Если 
то 
откуда 
и 
Для получения всех возможных ответов достаточно взять 
получим:
Ответ: 
Примечания Д. Д. Гущина.
1. Полезно показать учащимся удобный приём вычисления натуральных степеней чисел 
основанный на применении тождества 
(знаки согласованы). В данной задаче получаем:
2. Корни уравнения 
можно найти и более алгоритмическим образом: введем замену 
получим квадратное уравнение 
затем решим или его по общей формуле, или подберем корни −8 и i, используя теорему, обратную теореме Виета.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
не забыв потом исключить из области определения точки вида 
при 
и получим
получим
и 
Область значений функции 
—
при четном k и 
при нечетном k. Имеем:
при четном k и 
при нечетном k.
придется исключить — вероятно, все точки, в которых они могли бы приниматься, не лежат в ОДЗ. Убедимся в этом из 
получим: 
и 
при 
область значений 
делится на 
и 
а потому не влияет на остатки от деления на них. Значит, и 
делится на 
при делении на 
Если многочлен делится на 
то у него есть корень 
откуда 
Далее, 
то есть 
откуда 
Из последнего условия и уравнения 
следует, что 
Значит, 
Определите угол наклона этой прямой к оси абсцисс. Сделайте рисунок с изображением графика данной функции и данной касательной.
или 
при условии y ⩾ 0, задает полуокружность с центром в начале координат и радиусом 
Допустим, что уравнение касательной имеет вид 
тогда 
(условие прохождения через точку (−3; 1)) и расстояние от начала координат до прямой 
равно радиусу окружности, то есть 
Из первого уравнения 
тогда из второго: 
и 
Однако вторая касательная касается нижней половины окружности и нам не подходит. Первая же имеет угловой коэффициент 1, поэтому образуем с горизонтальной осью угол 
будет касательной к графику данной функции, если уравнение (2) будет иметь один корень, т. е. его дискриминант окажется равным нулю:
(см. рис.). Тогда прямая FM перпендикулярна прямой OM. Из треугольника OAM имеем:
Проведём прямую AP перпендикулярно FO. Из треугольника OAP: 
Значит, 
OP = 3, AP = 1. По теореме Пифагора из треугольников APO и AMO находим 
Положим AF = x, FP = y. Поскольку треугольники FMO и FPA подобны, получим:
и заключаем: 
т. е. α = 45°.
и 
Сравнивая формулу для скорости с условием, заключаем, что начальная скорость v0 = 15 м/с, а ускорение 
Следовательно, перемещение за первые 20 секунд после начала движения составляет 
определить нельзя.