№ 2332 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 26. Комплексные числа: уравнения и системы
i
Решите уравнение 
Спрятать решениеРешение. Преобразуем
перейдя к тригонометрической форме записи комплексного числа:





Подставим найденное значение и разложим на множители:





Решим эти уравнения, записав z в тригонометрической форме. Пусть
тогда
Если
то

откуда
и
где
Для получения всех возможных ответов достаточно взять k = 0, 1, 2, получим:



Если
то
откуда
и
Для получения всех возможных ответов достаточно взять
получим:



Ответ: 
Примечания Д. Д. Гущина.
1. Полезно показать учащимся удобный приём вычисления натуральных степеней чисел
основанный на применении тождества
(знаки согласованы). В данной задаче получаем:

2. Корни уравнения
можно найти и более алгоритмическим образом: введем замену
получим квадратное уравнение
затем решим или его по общей формуле, или подберем корни −8 и i, используя теорему, обратную теореме Виета.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 2337