Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2332
i

Ре­ши­те урав­не­ние z в сте­пе­ни 6 плюс левая круг­лая скоб­ка 8 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка z в кубе плюс левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 =0.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем  левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 , пе­рей­дя к три­го­но­мет­ри­че­ской форме за­пи­си ком­плекс­но­го числа:

 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 = левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та в сте­пе­ни 6 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 6 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: 6 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =8 левая круг­лая скоб­ка 0 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 8i.

Под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние и раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

z в сте­пе­ни 6 плюс левая круг­лая скоб­ка 8 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка z в кубе минус 8i=0 рав­но­силь­но z в сте­пе­ни 6 плюс 8z в кубе минус iz в кубе минус 8i=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но z в кубе левая круг­лая скоб­ка z в кубе плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка минус i левая круг­лая скоб­ка z в кубе плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка z в кубе минус i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка z в кубе плюс 8 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний z в кубе =i,z в кубе = минус 8. конец со­во­куп­но­сти .

Решим эти урав­не­ния, за­пи­сав z в три­го­но­мет­ри­че­ской форме. Пусть z=r левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус \varphi плюс i синус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда z в кубе =r в кубе левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 3\varphi плюс i синус 3\varphi пра­вая круг­лая скоб­ка . Если z в кубе =i, то

r в кубе левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 3\varphi плюс i синус 3\varphi пра­вая круг­лая скоб­ка =1 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да r=1 и \varphi= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , где k при­над­ле­жит Z . Для по­лу­че­ния всех воз­мож­ных от­ве­тов до­ста­точ­но взять k  =  0, 1, 2, по­лу­чим:

 z_1=1 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i,

 z_2=1 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i,

 z_3=1 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус i.

Если z в кубе = минус 8, то r в кубе левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 3\varphi плюс i синус 3\varphi пра­вая круг­лая скоб­ка =8 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус Пи плюс i синус Пи пра­вая круг­лая скоб­ка , от­ку­да r=2 и \varphi= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , k при­над­ле­жит Z . Для по­лу­че­ния всех воз­мож­ных от­ве­тов до­ста­точ­но взять k=0, 1, 2, по­лу­чим:

z_4=2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та i,

z_5=2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2,

z_6=2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс i синус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та i.

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка минус 2, i, 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби i пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

При­ме­ча­ния Д. Д. Гу­щи­на.

1.  По­лез­но по­ка­зать уча­щим­ся удоб­ный приём вы­чис­ле­ния на­ту­раль­ных сте­пе­ней чисел  левая круг­лая скоб­ка 1 \pm i пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни n , ос­но­ван­ный на при­ме­не­нии тож­де­ства  левая круг­лая скоб­ка 1 \pm i пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = \pm 2i (знаки со­гла­со­ва­ны). В дан­ной за­да­че по­лу­ча­ем:

 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 6 = левая круг­лая скоб­ка 2i пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе = минус 8i.

2.  Корни урав­не­ния z в сте­пе­ни 6 плюс 8z в кубе минус iz в кубе минус 8i=0 можно найти и более ал­го­рит­ми­че­ским об­ра­зом: вве­дем за­ме­ну t = z в кубе , по­лу­чим квад­рат­ное урав­не­ние t в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 8 минус i пра­вая круг­лая скоб­ка t минус 8i=0, затем решим или его по общей фор­му­ле, или под­бе­рем корни −8 и i, ис­поль­зуя тео­ре­му, об­рат­ную тео­ре­ме Виета.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2337

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1988 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Дей­ствия над ком­плекс­ны­ми чис­ла­ми
?
Сложность: 5 из 10