Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2333
i

Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния и об­ласть зна­че­ний функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 1 минус 2 синус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 6 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем функ­цию:

 дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 1 минус 2 синус левая круг­лая скоб­ка \tfrac Пи 6 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 1 минус 2 левая круг­лая скоб­ка синус \tfrac Пи 6 ко­си­нус 2x минус ко­си­нус \tfrac Пи 6 синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 1 минус 2 левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 ко­си­нус 2x минус \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 синус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 1 минус ко­си­нус 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 2x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 1 минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2 синус x ко­си­нус x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 1 минус 1 плюс 2 синус в квад­ра­те x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 2 синус в квад­ра­те x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x ко­си­нус x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус 3x, зна­ме­на­тель: 4 синус x левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 синус x минус 4 синус в кубе x, зна­ме­на­тель: 4 синус x левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус x левая круг­лая скоб­ка 3 минус 4 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 синус x левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

До сих пор все пре­об­ра­зо­ва­ния были рав­но­силь­ны. Сей­час мы со­кра­тим дробь на  синус x, не забыв потом ис­клю­чить из об­ла­сти опре­де­ле­ния точки вида x= Пи k, при k при­над­ле­жит Z , и по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: 3 минус 4 синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: 4 левая круг­лая скоб­ка \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac34 минус синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac34 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: \tfrac34 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс \tfrac34 синус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac34 ко­си­нус в квад­ра­те x минус \tfrac14 синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x плюс \tfrac12 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x минус \tfrac12 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x.

Те­перь со­кра­тим дробь на

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x= ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби синус x плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус x= синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

не забыв потом ис­клю­чить из об­ла­сти опре­де­ле­ния точки вида x= Пи k минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­лу­чим

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x плюс \tfrac12 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x минус \tfrac12 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка \tfrac12 синус x плюс \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 2 ко­си­нус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x=
= синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус x минус ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби синус x= синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Зна­чит, об­ласть опре­де­ле­ния этой функ­ции  — все числа, кроме x= Пи k и x= Пи k минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Об­ласть зна­че­ний функ­ции  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка   — оче­вид­но [−1; 1]. Но при этом не­ко­то­рые зна­че­ния при­дет­ся вы­бро­сить, из-за того, что они при­ни­ма­ют­ся толь­ко в точ­ках вида x= Пи k и x= Пи k минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , ко­то­рые на самом деле под­став­лять нель­зя. Най­дем эти зна­че­ния :  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при чет­ном k и  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка = синус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при не­чет­ном k. Имеем:

 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка Пи k минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус Пи k плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус Пи k пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что равно  синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при чет­ном k и  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при не­чет­ном k.

Тем самым, воз­мож­но зна­че­ния \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при­дет­ся ис­клю­чить  — ве­ро­ят­но, все точки, в ко­то­рых они могли бы при­ни­мать­ся, не лежат в ОДЗ. Убе­дим­ся в этом из  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =\pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­лу­чим:

 со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x= дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x= дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус 2 Пи k,x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,x= минус Пи минус 2 Пи k,x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус Пи минус 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти .k при­над­ле­жит Z .

Как видно, все эти зна­че­ния дей­стви­тель­но за­пре­ще­ны.

 

Ответ: об­ласть опре­де­ле­ния x не равно Пи k и x не равно Пи k минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , при k при­над­ле­жит Z , об­ласть зна­че­ний  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2338

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1988 год, ра­бо­та 1, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции
?
Сложность: 6 из 10