Даны функции 
и 
а) Решите неравенство f(x) < g(x).
б) Найдите все значения x такие, что f(x) и g(x) одновременно являются целыми числами.
в) Найдите все числа c такие, что уравнение f(x) + g(x) = c имеет решения.
г) Пусть xn — такое число, что f(xn) = −n, где n — натуральное число, n ⩾ 2. Докажите, что 
а) Запишем исходную функцию 
Решив неравенство 
получаем a < 0; 1 < a < 2. Но
Остаётся решить неравенство 
б) Требуется найти все целые a, при которых 
—
в) Исследуем функцию 
на промежутке a < 1. Область значений функции h на 
—
Заметим, что для всякого k ⩽ 0 уравнение 
имеет решения (достаточно нарисовать графики функций y = x и y = (x + 1)k для положительных x).
г) Увидим xn — это решение уравнения 
Нарисовав графики функций y = x и 
видим, что достаточно доказать, что
Заметим теперь, что 
если x < 1 (производная разности данных выражений положительна, а в нуле их значения совпадают). Поэтому 
Заметим также, что, поскольку 
при x ⩾ 2 (производная этого выражения положительна, и при x = 2 выражение также положительно, что проверяется непосредственно), то 
при данных n. Имеем:
Ответ: а) 0 < x < 1; б) x = 1.
Задание парного варианта: 2145