PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Применим формулу косинуса двойного угла:
Обозначим 
тогда получим
Вернёмся к исходной переменной, получим 
или 
откуда
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в точке x = 1.
получим:
осью абсцисс и прямыми 
поэтому график расположен в верхней полуплоскости. Тогда
и 
периодичны с периодом 
поэтому их значения в точках 
и 
равны и двойные подстановки обратятся в 0. Значения же функции 
в точках, отличающихся на 
Это и есть ответ.
определена при условии 
то есть 
Далее, при 
получим
и положительно при 
то есть отрицательно при 
то есть при 
и положительно при 
откуда следует, что функция возрастает до точки 
и убывает при 
и укажите наименьшее натуральное число, ему удовлетворяющее.
неравенство принимает вид 
Обозначая 
получим
находим 
(невозможно, t не может быть отрицательно) и 
откуда 
Заметим также, что уже при 
поэтому наименьшее натуральное решение это 
то неравенство принимает вид
получим
и домножим неравенство на 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его и получим 
разделим на него
найдите все такие точки, что через каждую из них проходят ровно две касательные к графику функции 
и угол между этими касательными равен 
касается параболы 
то уравнение 
имеет единственный корень, то есть у уравнения 
дискриминант равен нулю. Значит, 
Итак, касательные имеют вид 
В частности, сама прямая 
которая получается при 
является касательной. Поскольку из одной точки можно провести не более двух касательных к параболе, вторая прямая должна образовывать с этой угол 
(или 
). Вычислим угол между прямыми 
тогда 
Однако для этой касательной угол между касающимися лучами равен 
откуда 
Для этой касательной угол между касающимися лучами равен 
Решим уравнение:
