Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4480

Решите уравнение  косинус 4x плюс 5 косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Применим формулу косинуса двойного угла:

 косинус 4x плюс 5 косинус в квадрате x= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно 2 косинус в квадрате 2x минус 1 плюс 5 умножить на дробь: числитель: 1 плюс косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби равносильно  8 косинус в квадрате 2x минус 4 плюс 10 левая круглая скобка 1 плюс косинус 2x правая круглая скобка =3.

Обозначим  косинус 2x=t, тогда получим

8t в квадрате минус 4 плюс 10 левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка =3 равносильно 8t в квадрате минус 4 плюс 10 плюс 10t=3 равносильно 8t в квадрате плюс 10t плюс 3=0 равносильно левая круглая скобка 4t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,t= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби . конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной, получим  косинус 2x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби или  косинус 2x= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , откуда

 совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,2x=\pm арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 2 Пи k конец совокупности . равносильно  совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

 

Ответ:  левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи k; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4486

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1997 год, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 4 из 10