Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4485

На прямой y=2x минус 1 найдите все такие точки, что через каждую из них проходят ровно две касательные к графику функции y=x в квадрате и угол между этими касательными равен  дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Если прямая y=kx плюс b касается параболы y=x в квадрате , то уравнение x в квадрате =kx плюс b имеет единственный корень, то есть у уравнения x в квадрате минус kx минус b=0 дискриминант равен нулю. Значит, k в квадрате плюс 4b=0, b= минус дробь: числитель: k в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби . Итак, касательные имеют вид y=kx минус дробь: числитель: k в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби . В частности, сама прямая y=2x минус 1, которая получается при k=2, является касательной. Поскольку из одной точки можно провести не более двух касательных к параболе, вторая прямая должна образовывать с этой угол 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка (или 135 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ). Вычислим угол между прямыми y=2x минус 1 и y=kx минус дробь: числитель: k в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби .

 тангенс альфа = дробь: числитель: 2 минус k, знаменатель: 1 плюс 2k конец дроби =\pm 1.

То есть либо  дробь: числитель: 2 минус k, знаменатель: 1 плюс 2k конец дроби =1 равносильно 2 минус k=1 плюс 2k равносильно 3k=1 равносильно k= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , тогда y= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби . Однако для этой касательной угол между касающимися лучами равен 135 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка (см. рис.). Либо  дробь: числитель: 2 минус k, знаменатель: 1 плюс 2k конец дроби = минус 1 равносильно k минус 2=1 плюс 2k равносильно k= минус 3, откуда y= минус 3x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби . Для этой касательной угол между касающимися лучами равен 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка (см. рис.). Осталось найти точку пересечения ее с прямой y=2x минус 1. Решим уравнение:

2x минус 1= минус 3x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби равносильно 5x= минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби равносильно y= минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 4491

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Физико-математические классы, РФ, 1997 год, вариант 1
? Классификатор: Касательная к графику функции
?
Сложность: 9 из 10