Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4485
i

На пря­мой y=2x минус 1 най­ди­те все такие точки, что через каж­дую из них про­хо­дят ровно две ка­са­тель­ные к гра­фи­ку функ­ции y=x в квад­ра­те и угол между этими ка­са­тель­ны­ми равен  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если пря­мая y=kx плюс b ка­са­ет­ся па­ра­бо­лы y=x в квад­ра­те , то урав­не­ние x в квад­ра­те =kx плюс b имеет един­ствен­ный ко­рень, то есть у урав­не­ния x в квад­ра­те минус kx минус b=0 дис­кри­ми­нант равен нулю. Зна­чит, k в квад­ра­те плюс 4b=0, b= минус дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Итак, ка­са­тель­ные имеют вид y=kx минус дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . В част­но­сти, сама пря­мая y=2x минус 1, ко­то­рая по­лу­ча­ет­ся при k=2, яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной. По­сколь­ку из одной точки можно про­ве­сти не более двух ка­са­тель­ных к па­ра­бо­ле, вто­рая пря­мая долж­на об­ра­зо­вы­вать с этой угол 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка (или 135 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ). Вы­чис­лим угол между пря­мы­ми y=2x минус 1 и y=kx минус дробь: чис­ли­тель: k в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 тан­генс альфа = дробь: чис­ли­тель: 2 минус k, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2k конец дроби =\pm 1.

То есть либо  дробь: чис­ли­тель: 2 минус k, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2k конец дроби =1 рав­но­силь­но 2 минус k=1 плюс 2k рав­но­силь­но 3k=1 рав­но­силь­но k= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , тогда y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби . Од­на­ко для этой ка­са­тель­ной угол между ка­са­ю­щи­ми­ся лу­ча­ми равен 135 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка (см. рис.). Либо  дробь: чис­ли­тель: 2 минус k, зна­ме­на­тель: 1 плюс 2k конец дроби = минус 1 рав­но­силь­но k минус 2=1 плюс 2k рав­но­силь­но k= минус 3, от­ку­да y= минус 3x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Для этой ка­са­тель­ной угол между ка­са­ю­щи­ми­ся лу­ча­ми равен 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка (см. рис.). Оста­лось найти точку пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой y=2x минус 1. Решим урав­не­ние:

2x минус 1= минус 3x минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 5x= минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но y= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4491

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1997 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 9 из 10