Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 4484
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка |x| пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и ука­жи­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ему удо­вле­тво­ря­ю­щее.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При x боль­ше 0 не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид 4 в сте­пе­ни x плюс 6 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Обо­зна­чая 2 в сте­пе­ни x =t, по­лу­чим

t в квад­ра­те плюс 6t боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но  4t в квад­ра­те плюс 24t минус 49 боль­ше или равно 0.

Решая урав­не­ние 4t в квад­ра­те плюс 24t минус 49=0 на­хо­дим

t= дробь: чис­ли­тель: минус 12\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 плюс 4 умно­жить на 49 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 12\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 144 плюс 196 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 12\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 340 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 12\pm 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: минус 6\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Зна­чит, ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства будут t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 6 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби (не­воз­мож­но, t не может быть от­ри­ца­тель­но) и t боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: минус 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , от­ку­да x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та минус 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . За­ме­тим также, что уже при x=1 4 в сте­пе­ни 1 плюс 6 умно­жить на 2 в сте­пе­ни 1 =4 плюс 12=16 боль­ше дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , по­это­му наи­мень­шее на­ту­раль­ное ре­ше­ние это x=1.

Если же x мень­ше или равно 0, то не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

4 в сте­пе­ни x плюс 6 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Обо­зна­чая 2 в сте­пе­ни x =t, t мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни 0 =1, по­лу­чим

t в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 49, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

От­ме­тим, что t боль­ше 0 и до­мно­жим не­ра­вен­ство на 4t:

4t в кубе плюс 24 боль­ше или равно 49t рав­но­силь­но 4t в кубе минус 49t плюс 24 боль­ше или равно 0.

У мно­го­чле­на в левой части есть ко­рень t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му мно­го­член в левой части рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли, один из ко­то­рых равен 2t минус 1. Вы­де­лим его и по­лу­чим  левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t в квад­ра­те плюс t минус 24 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0.

Вто­рой мно­жи­тель от­ри­ца­те­лен при t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , раз­де­лим на него

2t минус 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но t мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни x мень­ше или равно 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но x мень­ше или равно минус 1.

Окон­ча­тель­ный ответ x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та минус 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка \log _2 дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 85 конец ар­гу­мен­та минус 6, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 4490

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Фи­зи­ко-ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1997 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства
?
Сложность: 8 из 10