PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и приведем уравнение к виду 
Обозначим cos x за t и получим квадратное уравнение
Уравнение 
решений не имеет, решениями уравнения 
является 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
Заменим получившееся неравенство равносильной ему системой двух неравенств. Первое 
— определяет область допустимых значений логарифмической функции, второе 
— вытекает из того, что функция 
убывает на всей своей области определения. Из первого неравенства получим 
из второго 
Решения системы: 
в точке графика с абсциссой 
значение производной в точке x0: 
значение функции в точке x0: 
получаем 
и осями координат.
осью Ox и прямыми x = a и x = b, где 
при всех 
можно воспользоваться формулой
на промежутке 
Найдя наибольшее и наименьшее значение функции на этом промежутке (рассмотрев при этом и точку − 0,5), можно будет ответить на вопрос задачи. Заданная функция дифференцируема при 
— единственная критическая точка на рассматриваемом промежутке. Поскольку 
а 
то x0 — точка максимума. Наибольшее значение функции y(x) достигается в точке 
и равно
равна нулю. Действительно 
а для всех x из рассматриваемого промежутка 
наименьшее значение заданной функции на всем промежутке 
равна нулю. Таким образом, на рассматриваемом промежутке функция принимает все действительные значения от 0 до 
включительно; среди них — два целых: 0 и 1.
непрерывной, но недифференцируемой в точке − 0,5 и совпадающей с исходной при 
откуда 
Если 
то t может принимать любые значения из промежутка [0 ; 1]. Задача сводится к определению всех целых значений, которые может принимать функция 
на промежутке [0 ;1]. Функция φ(t) непрерывна и дифференцируема во всех точка промежутка [0 ;1] 
на промежутке 
принимает два целых значения: 0 и 1.
после чего исходное получаем 
Учитывая, что под корнем стоит полный квадрат перепишем уравнение в виде 
Рассмотрим два случая. 
тогда 
и уравнение запишется как 
Остаётся 
Итак, 
тогда 
и уравнение преобразуется к виду 
