Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3298

Какие целые значения принимает функция y= минус 9x корень из (2x плюс 1) на промежутке [ минус 0,5 ; 0]?

Спрятать решение

Решение.

1 способ. Заданная функция непрерывна на промежутке ( минус 0,5; 0]. Найдя наибольшее и наименьшее значение функции на этом промежутке (рассмотрев при этом и точку − 0,5), можно будет ответить на вопрос задачи. Заданная функция дифференцируема при  минус 0,5 меньше x меньше или равно 0,

 y'= минус 9 корень из (2x минус 1) минус дробь: числитель: 9x, знаменатель: корень из (2x плюс 1) конец дроби .

Производная равна 0, если

 корень из (2x плюс 1) плюс дробь: числитель: x, знаменатель: корень из (2x плюс 1) конец дроби =0 равносильно 2x плюс 1 плюс x=0 равносильно x= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Тогда x_0= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби  — единственная критическая точка на рассматриваемом промежутке. Поскольку y' левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка больше 0, а y'(0) меньше 0, то x0 — точка максимума. Наибольшее значение функции y(x) достигается в точке  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби и равно

 минус 9 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на корень из (2 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка плюс 1) = корень из 3 .

Наименьшее значение функции y(x) на промежутке ( минус 0,5; 0] равна нулю. Действительно y(0)=0, а для всех x из рассматриваемого промежутка x меньше или равно 0,

 корень из (2x плюс 1) больше 0 равносильно минус 9x умножить на корень из (2x плюс 1) больше или равно 0.

Поскольку и y( минус 0,5)=0, наименьшее значение заданной функции на всем промежутке [ минус 0,5 ; 0] равна нулю. Таким образом, на рассматриваемом промежутке функция принимает все действительные значения от 0 до  корень из 3 включительно; среди них — два целых: 0 и 1.

 

Ответ: 0 и 1.

 

Замечание.

Некоторым читателям такое решение наверняка покажется «корявым». Здесь необходимо сделать ряд замечаний.

1) Использовать стандартный алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке, здесь нельзя (функция не является непрерывной в точке x = − 0,5).

2) Учащиеся, знакомые со свойством односторонней непрерывности в точке (этот материал отсутствует в учебнике), смогут привести задачу к виду, когда использование вышеупомянутого алгоритма допустимо (функция непрерывна на (−0,5; 0] и непрерывна справа в −0,5).

3) Можно использовать стандартный алгоритм для функции у = —9х корень из ( | 2х плюс 1 |) , непрерывной, но недифференцируемой в точке − 0,5 и совпадающей с исходной при  минус 0,5 меньше или равно x меньше или равно 0.

 

2 способ. По условию должно выполняться равенство

 минус 9x корень из (2x плюс 1) =n : n принадлежит Z , x принадлежит [ минус 0,5;0].

Обозначим  корень из (2x плюс 1) =t, откуда x= дробь: числитель: (t в квадрате минус 1), знаменатель: 2 конец дроби . Если  минус 0,5 меньше или равно x меньше или равно 0, то t может принимать любые значения из промежутка [0 ; 1]. Задача сводится к определению всех целых значений, которые может принимать функция  \varphi(t)= минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби (t в квадрате минус 1)t на промежутке [0 ;1]. Функция φ(t) непрерывна и дифференцируема во всех точка промежутка [0 ;1]

\varphi(0)=0,

\varphi(1)=0,
\varphi(1)= минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби (3t в квадрате минус 1).

Единственная критическая точка функции φ(t) на [0 ;1] определяется из условия

\varphi'(t)=0 равносильно 3t в квадрате минус 1=0 равносильно t= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби ,

где 0 меньше или равно t \leqslant1.

Поскольку наибольшее и наименьшее значения на отрезке непрерывная функция может принимать либо на концах отрезка, либо в своих критических точках, лежащих на отрезке, то

 \underset[0;1]\mathop\min \varphi(t)=\varphi(0)=\varphi(1)=0,

\underset[0;1]\mathop\max \varphi(t)= \varphi левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби = корень из 3 .

Отсюда следует, что φ(t) на промежутке [0 ;1] принимает два целых значения: 0 и 1. Таким образом, функция y= минус 9x корень из (2x плюс 1) на промежутке [ минус 0,5; 0] принимает два целых значения: 0 и 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 3304

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1993 год, работа 1, вариант 1
? Классификатор: Исследование функций
?
Сложность: 5 из 10