1 спо­соб. За­дан­ная функ­ция не­пре­рыв­на на про­ме­жут­ке Найдя наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на этом про­ме­жут­ке (рас­смот­рев при этом и точку − 0,5), можно будет от­ве­тить на во­прос за­да­чи. За­дан­ная функ­ция диф­фе­рен­ци­ру­е­ма при

Про­из­вод­ная равна 0, если

Тогда   — един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке. По­сколь­ку а то x₀  — точка мак­си­му­ма. Наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции y(x) до­сти­га­ет­ся в точке и равно

Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции y(x) на про­ме­жут­ке равна нулю. Дей­стви­тель­но а для всех x из рас­смат­ри­ва­е­мо­го про­ме­жут­ка

По­сколь­ку и наи­мень­шее зна­че­ние за­дан­ной функ­ции на всем про­ме­жут­ке равна нулю. Таким об­ра­зом, на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет все дей­стви­тель­ные зна­че­ния от 0 до вклю­чи­тель­но; среди них  — два целых: 0 и 1.

Ответ: 0 и 1.

За­ме­ча­ние.

Не­ко­то­рым чи­та­те­лям такое ре­ше­ние на­вер­ня­ка по­ка­жет­ся «ко­ря­вым». Здесь не­об­хо­ди­мо сде­лать ряд за­ме­ча­ний.

1)  Ис­поль­зо­вать стан­дарт­ный ал­го­ритм на­хож­де­ния наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ний функ­ции, не­пре­рыв­ной на от­рез­ке, здесь нель­зя (функ­ция не яв­ля­ет­ся не­пре­рыв­ной в точке x  =  − 0,5).

2)  Уча­щи­е­ся, зна­ко­мые со свой­ством од­но­сто­рон­ней не­пре­рыв­но­сти в точке (этот ма­те­ри­ал от­сут­ству­ет в учеб­ни­ке), смо­гут при­ве­сти за­да­чу к виду, когда ис­поль­зо­ва­ние вы­ше­упо­мя­ну­то­го ал­го­рит­ма до­пу­сти­мо (функ­ция не­пре­рыв­на на (−0,5; 0] и не­пре­рыв­на спра­ва в −0,5).

3)  Можно ис­поль­зо­вать стан­дарт­ный ал­го­ритм для функ­ции не­пре­рыв­ной, но не­диф­фе­рен­ци­ру­е­мой в точке − 0,5 и сов­па­да­ю­щей с ис­ход­ной при

2 спо­соб. По усло­вию долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

Обо­зна­чим от­ку­да Если то t может при­ни­мать любые зна­че­ния из про­ме­жут­ка [0 ; 1]. За­да­ча сво­дит­ся к опре­де­ле­нию всех целых зна­че­ний, ко­то­рые может при­ни­мать функ­ция на про­ме­жут­ке [0 ;1]. Функ­ция φ(t) не­пре­рыв­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма во всех точка про­ме­жут­ка [0 ;1]

Един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка функ­ции φ(t) на [0 ;1] опре­де­ля­ет­ся из усло­вия

где

По­сколь­ку наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ния на от­рез­ке не­пре­рыв­ная функ­ция может при­ни­мать либо на кон­цах от­рез­ка, либо в своих кри­ти­че­ских точ­ках, ле­жа­щих на от­рез­ке, то

От­сю­да сле­ду­ет, что φ(t) на про­ме­жут­ке [0 ;1] при­ни­ма­ет два целых зна­че­ния: 0 и 1. Таким об­ра­зом, функ­ция на про­ме­жут­ке при­ни­ма­ет два целых зна­че­ния: 0 и 1.