PDF-версии: 
Упростите выражение 
при 
Решение. Обозначим временно 
Так как 
получаем, что 
то есть 
Тогда 
и исходное выражение примет вид
Ответ: -18.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
— периодическая, с периодом, равным 13. Если 
то 
Решите уравнение 
для 
получим 
и 
причем 
найдите числа с наименьшим и наибольшим модулем.
определяет круг с центром в точке 
и радиусом 2. его ближайшая к и наиболее далекая от начала координат точки (то есть имеющие минимальный и максимальный модуль) лежат на прямой, соединяющей центры кругов, то есть на мнимой оси. Отсюда ясно, что 
найдите нули функции 
и укажите, какие из них принадлежат ее промежуткам возрастания.
либо 
откуда 
получим
Представим производную в виде
последняя скобка приблизительно равна двум и поэтому положительна, так что знак производной определяется знаком 
которое положительно при 
и отрицательно при 
поэтому в некоторой окрестности единицы функция сначала возрастает, а потом убывает. Так что 
не только точка экстремума, но и лежит на промежутке возрастания (являясь его концом) (Может показаться, что последнее уточнение было странным - ведь точка максимума всегда смыкает промежутки возрастания и убывания... Оказывается на самом деле это не так. Интересующихся примером функции, не монотонной ни в какой односторонней окрестности точки экстремума мы отсылаем к книге "`Контрпримеры в анализе"' Гельбаума и Олмстеда).
из них на промежутках возрастания лежат два последних.
и 
если 
— первообразная для функции 
дает −4, а при подстановке 
дает −18, значит, и 
поэтому там же лежит и весь отрезок 
и все значения на нем отрицательны.
значит, 
имеет хотя бы одно решение.
не имеет корней, поэтому при домножении на знаменатель число корней уравнения не изменится. После домножения получим уравнение
годится 
При прочих a это квадратное уравнение и у него есть корень тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен
