Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2960
i

На от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка най­ди­те нули функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус 3 Пи x умно­жить на синус 4 Пи x минус синус 2 Пи x умно­жить на синус 5 Пи x, и ука­жи­те, какие из них при­над­ле­жат ее про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ную функ­цию:

синус 3 Пи x синус 4 Пи x минус синус 2 Пи x синус 5 Пи x=
= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4 Пи x минус 3 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 4 Пи x плюс 3 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 5 Пи x минус 2 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 5 Пи x плюс 2 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус Пи x минус ко­си­нус 7 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 3 Пи x минус ко­си­нус 7 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус Пи x минус ко­си­нус 7 Пи x минус ко­си­нус 3 Пи x плюс ко­си­нус 7 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус Пи x минус ко­си­нус 3 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 синус дробь: чис­ли­тель: Пи x плюс 3 Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи x минус Пи x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =
= синус Пи x синус 2 Пи x= синус Пи x умно­жить на 2 синус Пи x ко­си­нус Пи x=2 синус в квад­ра­те Пи x ко­си­нус Пи x.

От­сю­да видно, что либо ко­си­нус Пи x=0, либо синус Пи x=0, от­ку­да

Пи x= дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

На ука­зан­ном от­рез­ке лежат точки дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , 1, дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Для от­ве­та на по­след­ний во­прос возь­мем про­из­вод­ную ис­ход­ной функ­ции, за­пи­сав ее в виде дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус Пи x минус ко­си­нус 3 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­чим

y'= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус Пи x минус ко­си­нус 3 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус Пи синус Пи x плюс 3 Пи синус 3 Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 синус 3 Пи x минус синус Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда

y' левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка минус 3 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0

лежит на про­ме­жут­ке убы­ва­ния;

y' левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 синус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0

лежит на про­ме­жут­ке воз­рас­та­ния.

На­ко­нец y' левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. Пред­ста­вим про­из­вод­ную в виде

дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 синус 3 Пи x минус синус Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 3 левая круг­лая скоб­ка 3 синус Пи x минус 4 синус в кубе Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 9 синус Пи x минус 12 синус в кубе Пи x минус синус Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 8 синус Пи x минус 12 синус в кубе Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 Пи синус Пи x левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3 синус в квад­ра­те Пи x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ясно, что при x\approx 1 по­след­няя скоб­ка при­бли­зи­тель­но равна двум и по­это­му по­ло­жи­тель­на, так что знак про­из­вод­ной опре­де­ля­ет­ся зна­ком синус Пи x, ко­то­рое по­ло­жи­тель­но при x мень­ше 1 и от­ри­ца­тель­но при x боль­ше 1, по­это­му в не­ко­то­рой окрест­но­сти еди­ни­цы функ­ция сна­ча­ла воз­рас­та­ет, а потом убы­ва­ет. Так что x=1 не толь­ко точка экс­тре­му­ма, но и лежит на про­ме­жут­ке воз­рас­та­ния (яв­ля­ясь его кон­цом) (Может по­ка­зать­ся, что по­след­нее уточ­не­ние было стран­ным - ведь точка мак­си­му­ма все­гда смы­ка­ет про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния и убы­ва­ния... Ока­зы­ва­ет­ся на самом деле это не так. Ин­те­ре­су­ю­щих­ся при­ме­ром функ­ции, не мо­но­тон­ной ни в какой од­но­сто­рон­ней окрест­но­сти точки экс­тре­му­ма мы от­сы­ла­ем к книге "`Контр­при­ме­ры в ана­ли­зе"' Гель­ба­у­ма и Олм­сте­да).

 

Ответ: x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x=1, x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , из них на про­ме­жут­ках воз­рас­та­ния лежат два по­след­них.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2961

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2004 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 8 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025