PDF-версии: 
Найдите модуль и один из аргументов комплексного числа 
Решение. Преобразуем данное комплексное число z следующим образом:
Получили запись комплексного числа в тригонометрической форме. Отсюда следует, что его модуль равен 
и один из аргументов равен 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
) получим: 
и касательными к этому графику, проведенными через точку M (−1; 1).
— абсцисса точки касания, а 
и 
— значения функции и ее производной при 
Имеем:
или 
и уравнения касательной 
или 
(кв. ед.).
и определите, в скольких точках данная функция принимает значение, равное 0,5.
Найдем ее производную:
Графики этих функций имеют три общие точки, если 
и одну общую точку, если 
и 
Поскольку 
то графики функций имеют три общие точки.
убывает на промежутках 
и 
в трех точках.
имеет те же корни, что и общие корни данных многочленов:
получим
Проверка показывает, что число 2 не является корнем многочлена Q(x), а значит, не удовлетворяет условию. Проверим, делятся ли многочлены 
и 
на 
и 
Следовательно, нули квадратного трехчлена 
являются общими корнями многочленов 
Этими нулями являются числа 
и 
Выберем из них те, которые являются корнями многочленов, то есть обращают их в нуль. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что числа 
являются корнями первого многочлена, а значит, и корнями второго многочлена.
для любого 
то данное уравнение равносильно системе
Система имеет единственное решение в двух случаях.
а решением второй — промежуток 
