Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2954
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых урав­не­ние

 арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби x в квад­ра­те плюс арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби x в квад­ра­те = |x минус a|

имеет ровно один ко­рень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку  арк­ко­си­нус альфа плюс арк­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби для лю­бо­го  альфа при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , то дан­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

 си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 1 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: x в квад­ра­те конец дроби \leqslant1,|x минус a| = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний |x| боль­ше или равно ко­рень из 2 , со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,x = a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Оче­вид­но, что a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние в двух слу­ча­ях.

Пер­вый слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно минус ко­рень из 2 , минус ко­рень из 2 мень­ше a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше ко­рень из 2 . конец си­сте­мы .

Вто­рой слу­чай:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний a плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше ко­рень из 2 , минус ко­рень из 2 мень­ше a минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше ко­рень из 2 . конец си­сте­мы .

Ре­ше­ни­ем пер­вой си­сте­мы яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток  левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из 2 минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ко­рень из 2 минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , а ре­ше­ни­ем вто­рой  — про­ме­жу­ток  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­рень из 2 ; ко­рень из 2 плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из 2 минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ко­рень из 2 минус дробь: чис­ли­тель: Пи }2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­рень из 2 ; ко­рень из 2 плюс дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: конец дроби pi, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2965

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2003 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 10 из 10