Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2946
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y = x в квад­ра­те плюс 2x плюс 6 и ка­са­тель­ны­ми к этому гра­фи­ку, про­ве­ден­ны­ми через точку M (−1; 1).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­жде всего убе­дим­ся, при­над­ле­жит ли точка M (−1; 1) гра­фи­ку функ­ции или нет:

 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2 левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 6 не равно 1.

Зна­чит, точка M гра­фи­ку не при­над­ле­жит. Будем за­пи­сы­вать урав­не­ния ка­са­тель­ных в виде

y = y'_0 левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y_0,

где x_0  — абс­цис­са точки ка­са­ния, а y_0 и y'_0  — зна­че­ния функ­ции и ее про­из­вод­ной при x = x_0. Имеем:

y' = левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка ' = 2x плюс 2.

Урав­не­ние можно за­пи­сать в виде

y = левая круг­лая скоб­ка 2x_0 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус x_0 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x_0 в квад­ра­те плюс 2x_0 плюс 6

или

y = левая круг­лая скоб­ка 2x_0 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус x в квад­ра­те _0 плюс 6.

Под­став­ляя в это урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точки M, по­лу­чим

1 = минус левая круг­лая скоб­ка 2x_0 плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус x_0 в квад­ра­те плюс 6 рав­но­силь­но x_0 в квад­ра­те плюс 2x_0 минус 3 = 0,

от­ку­да x_0 = минус 3 или x_0 = 1 и урав­не­ния ка­са­тель­ной y = минус 4x минус 3 или y = 4x плюс 5.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­на фи­гу­ра, пло­щадь ко­то­рой не­об­хо­ди­мо вы­чис­лить. Имеем:

S = ин­те­грал пре­де­лы: от минус 3 до минус 1, левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус ин­те­грал пре­де­лы: от минус 3 до минус 1, левая круг­лая скоб­ка минус 4x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка dx плюс ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 1, левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x плюс 6 пра­вая круг­лая скоб­ка dx минус ин­те­грал пре­де­лы: от минус 1 до 1, левая круг­лая скоб­ка 4x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка dx =

= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс x в квад­ра­те плюс 6x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 3 до минус 1, плюс левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс 3x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 3 до минус 1, плюс левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс x в квад­ра­те плюс 6x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 1 до 1, минус левая круг­лая скоб­ка 2x в квад­ра­те плюс 5x пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус 1 до 1, =

= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 1 минус 6 плюс 9 минус 9 плюс 18 плюс 2 минус 3 минус 18 плюс 9 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 1 плюс 6 минус 2 минус 5 плюс 2 минус 5 = целая часть: 5, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 (кв. ед.).

 

 

Ответ:  целая часть: 5, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 (кв. ед.).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2957

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2003 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 7 из 10