Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2947
i

Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти, точки экс­тре­му­мов и экс­тре­му­мы функ­ции y = x в квад­ра­те e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка и опре­де­ли­те, в сколь­ких точ­ках дан­ная функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние, рав­ное 0,5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Функ­ция опре­де­ле­на, не­пре­рыв­на и диф­фе­рен­ци­ру­е­ма на  R . Най­дем ее про­из­вод­ную:

y' = 2x умно­жить на e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем кри­ти­че­ские точки функ­ции:

y' = 0 рав­но­силь­но e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но 2x минус x в квад­ра­те = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = 0,x = 2. конец со­во­куп­но­сти .

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной на про­ме­жут­ках  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 0; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка :

y' левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = e умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, y' левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби e умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, y' левая круг­лая скоб­ка 3 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: конец дроби e в кубе умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 6 минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

Со­ста­вим таб­ли­цу мо­но­тон­но­сти функ­ции:

Для того чтобы от­ве­тить на во­прос о числе точек, в ко­то­рых дан­ная функ­ция при­ни­ма­ет зна­че­ние, рав­ное 0,5, до­ста­точ­но вы­яс­нить, сколь­ко точек пе­ре­се­че­ния имеют гра­фи­ки функ­ций y = x в квад­ра­те умно­жить на e в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , y = 0,5. Гра­фи­ки этих функ­ций имеют три общие точки, если 0,5 мень­ше y_max и одну общую точку, если 0,5 боль­ше y_max.

Срав­ним числа  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: e в квад­ра­те конец дроби . По­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: e в квад­ра­те конец дроби , то гра­фи­ки функ­ций имеют три общие точки.

 

Ответ: функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , убы­ва­ет на про­ме­жут­ках  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и  левая квад­рат­ная скоб­ка 2; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; y_max левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: конец дроби e в квад­ра­те ; y_min левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка = 0; в трех точ­ках.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2959

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2003 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 8 из 10