№ 2947 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 15. Производная: экстремумы, монотонность, выпуклость
i
Найдите промежутки монотонности, точки экстремумов и экстремумы функции
и определите, в скольких точках данная функция принимает значение, равное 0,5.
Спрятать решениеРешение. 
Функция определена, непрерывна и дифференцируема на
Найдем ее производную:

Найдем критические точки функции:

Определим знаки производной на промежутках


Составим таблицу монотонности функции:

Для того чтобы ответить на вопрос о числе точек, в которых данная функция принимает значение, равное 0,5, достаточно выяснить, сколько точек пересечения имеют графики функций
Графики этих функций имеют три общие точки, если
и одну общую точку, если 
Сравним числа
и
Поскольку
то графики функций имеют три общие точки.
Ответ: функция возрастает на промежутке
убывает на промежутках
и
в трех точках.
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: функция возрастает на промежутке

убывает на промежутках

и

в трех точках.
Задание парного варианта: 2959