PDF-версии: 
Найдите промежутки возрастания, точки максимума и максимумы функции 
Решение. Возьмем производную данной функции
Ее знак определяется знаком выражения 
которое положительно при 
или 
и отрицательно при 
Значит, функция возрастает при 
убывает при 
и возрастает при 
При 
функция не определена, при 
у нее максимум, 
Ответ: точка максимума: −1.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и графиками функций 
при условии 
Эта парабола проходит через точку 
через которую также проходит график функции 
При 
не определено, при 
имеем 
поэтому у них нет других точек пересечения.
убывает, поэтому их графики имеют не более одной общей точки. Одна легко угадывается, 
найдем из уравнения 
Второй корень положителен и нас не устраивает.
а снизу графиком 
при 
и графиком 
при 
Значит, ее площадь равна
и преобразуем числитель
и 
При этом 
иначе не определен 
(или равен нулю, если 
).
имеем 
имеем 
и 
дающие соответственно 
и 
то есть 
Первое даст 
найдите все такие точки, что проведенные через них касательные к графику функции 
взаимно перпендикулярны.
является касательной к графику функции 
в том и только том случае, когда уравнение 
имеет единственный корень, то есть когда дискриминант уравнения 
равен нулю. Итак, 
и касательные имеют вид 
поэтому ее уравнение 
получаем 
и 
подходит в оба неравенства. Поэтому если такое z единственно, то 
то есть z — вещественное число.
на расстоянии меньшем a, то есть лежат внутри круга радиуса a с центром в точке 
то этот круг целиком содержится в первой четверти и не может содержать пару сопряженных точек или точку с горизонтальной оси.
в круг попадает точка 
Ясно что при 
в круг не попадут никакие точки с целыми координатами из четвертой четверти (кроме лежащих на оси), поскольку расстояние от 
до прямой 
равно 4. С другой стороны, уже при 
в круг попадут точки 2 и 4, после чего условие единственности нарушится. При 
никакие целые точки кроме 
в круг не попадут (чем дальше точка на оси от 
тем больше у нее и расстояние до 