Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2852
i

На пря­мой y=3x минус 5 най­ди­те все такие точки, что про­ве­ден­ные через них ка­са­тель­ные к гра­фи­ку функ­ции y=2x в квад­ра­те вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пря­мая y=ax плюс b яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y=2x в квад­ра­те в том и толь­ко том слу­чае, когда урав­не­ние 2x в квад­ра­те =ax плюс b имеет един­ствен­ный ко­рень, то есть когда дис­кри­ми­нант урав­не­ния 2x в квад­ра­те минус ax минус b=0 равен нулю. Итак, a в квад­ра­те плюс 8b=0 и ка­са­тель­ные имеют вид y=ax минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Пря­мые пер­пен­ди­ку­ляр­ны в том и толь­ко том слу­чае, когда про­из­ве­де­ние их уг­ло­вых ко­эф­фи­ци­ен­тов равно −1 (или одна го­ри­зон­таль­на, а вто­рая вер­ти­каль­на, но ка­са­тель­ная к этой па­ра­бо­ле не может быть вер­ти­каль­на). Зна­чит, вто­рая ка­са­тель­ная имеет ко­эф­фи­ци­ент при x рав­ный  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби , по­это­му ее урав­не­ние

y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8a в квад­ра­те конец дроби .

Най­дем точку пе­ре­се­че­ния этих пря­мых. Ее абс­цис­са удо­вле­тво­ря­ет усло­вию

ax минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8a в квад­ра­те конец дроби рав­но­силь­но 8a в кубе x минус a в сте­пе­ни 4 = минус 8ax минус 1 рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 8x левая круг­лая скоб­ка a в кубе плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =a в сте­пе­ни 4 минус 1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: a в сте­пе­ни 4 минус 1, зна­ме­на­тель: 8 левая круг­лая скоб­ка a в кубе плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8a левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 8a конец дроби ,

тогда ее ор­ди­на­та на­хо­дит­ся по фор­му­ле

y=ax минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =a умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 8a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

По­сколь­ку она лежит на пря­мой y=3x минус 5, по­лу­ча­ем

 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби =3x минус 5 рав­но­силь­но 3x= дробь: чис­ли­тель: 39, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2858

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 2000 год, ра­бо­та 2, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции
?
Сложность: 9 из 10