PDF-версии: 
Найдите пару комплексных чисел z1, z2 для которых одновременно выполняются соотношения 
и 
Решение. I способ. Пусть 
где a, b, c, d — действительные числа. Тогда 
и
Поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части, отсюда следует
Решим систему уравнений, состоящую из третьего и четвертого уравнений.
Отсюда 
Ответ: 
II способ. Если комплексное число 
(где x и y — действительные числа), то, как известно, сопряженным к нему называется число x − iy, для которого имеется стандартное обозначение 
(т. е. 
). Операция нахождения сопряженного числа или алгебраического выражения, сопряженного данному, называется операцией сопряжения. Справедливы следующие соотношения:
если 
то 
если 
то 
а) Применим к обеим частям первого исходного уравнения операцию сопряжения
Таким образом, получаем систему уравнений
Найдем отсюда число z1. Для этого умножим обе части уравнения (1) на число 3i и сложим соответствующие чести уравнений:
б) Рассмотрим систему уравнений
в которой уравнение (4) получено применением операции сопряжения к обеим частям второго исходного уравнения. Найдем из системы уравнений (3), (4) число z2. Для этого вычтем из обеих частей уравнения (3) соответствующие части уравнения (4):
Ответ:
III способ. После того, как мы нашли z1 из системы (1), (2) (II способ), совсем необязательно выписывать системы уравнений (3), (4). А именно, найдем теперь 
из системы (1), (2). Для этого вычтем из обеих частей уравнения (1) соответствующие части уравнения (2):
Отсюда 
Ответ:
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
выполняется 
и 
Таким образом, фигура, площадь которой мы ищем, ограничена прямыми x = 0 и x = π и графиками функций 
и 
расположенными так, что при 
выполняется 
В этом случае искомая площадь равна 
симметричен относительно точки 
— середины отрезка [0; π]. Пусть 
Тогда
а это и означает, что график центрально-симметричен относительно точки 
Отсюда следует, что фигура AFGM равна фигуре BLKM (см. рис.), в частности, равны площади этих фигур. В итоге получаем, что искомая площадь заданной фигуры равна площади криволинейной трапеции AECB
на монотонность.
и дифференцируема на (0; + ∞).
получим многочлен 
Один из корней этого кубического многочлена очевиден и равен 1. Разделив на (t − 1) в столбик или используя схему Горнера получаем 
и 
при 
Поэтому непрерывная функция f(x) монотонно возрастает всюду на области своего определения (см. рис.)
определено для любых x. Так как 
(причем, знак равенства имеет место только при 
), то 
определен только на 
т. е. 
определен при 
Так как 
то 
Поскольку 
неравенство (1) принимает вид 
или, так как 
выполняется, как мы видели выше, при 
то в итоге мы получаем 
и определить, при каких значений a оно имеет единственное решение. (Получим наибольшее и наименьшее значения функции 
)
получаем, используя основное тригонометрическое тождество
и положив 
получим неравенство (3).
поэтому неравенство (1) не выполняется. Рассмотрим на 
функцию 
Нетрудно показать, что 
поэтому g(u) — монотонно возрастающая функция. Так как 
то 
на 
и мы получаем решение (5).
на отрезке 
достигается в двух различных точках?
и умеет строить ее график. 
и 
на каждом из множеств (−∞; x1] и [x2; + ∞) функция монотонно убывает, а в промежутке [x1; x2] — монотонно возрастает (смотри рисунок 2). (На рисунке для упрощения изображения ось y не обозначена.)
достигаются на концах данного отрезка, либо по крайней мере одно из минимальных значений функции на отрезке достигается во внутренней точке этого отрезка. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.
или совпадает с левым концом отрезка 
является корнем многочлена (1), — наряду с x = 3, т. е. 
или 
или 
является двойным корнем многочлена, т. е. двойным корнем квадратного трехчлена, см. ниже.)
является также корнями квадратного трехчлена в разложении (2). По теореме Виета 
Отсюда 
Проверим выполнение неравенства (5), используя приведенное в (4) значение параметра p,
Т. е. неравенство (5) выполняется, и рассматриваемый случай действительно реализуется (смотри рисунок 2).
отрезка. Пусть 
— вторая точка отрезка, в которой принимается наименьшее значение 
Так как во всех точках x отрезка, кроме 
то 
(см. рис. 4).
откуда p = − 3 или p = 2,25. Соответствующий (единственный) корень уравнения (6) равен 
При p = − 3 
но 
находится левее рассматриваемого отрезка, поскольку 
(так как 
). Поэтому значение p = − 3 не подходит. При p = 2,25 
Поскольку 
то 
причем 
(т. е. кратный корень лежит левее однократного). Поэтому 
и мы находимся в пределах рассматриваемого случая (см. рис. 4).
за «a» и рассмотрим функцию 
Необходимо и достаточно, чтобы на 
т. е.
т. е. 
Для этого посчитаем разность
Условие (1) выполнено, и мы получили первую часть ответа: 
то 
(условие (2) выполняется) и 
— еще одно значение ответа. Если 
то 
т. е. 