При каких значениях параметра p наименьшее значение функции 
на отрезке 
достигается в двух различных точках?
I способ. Мы проведем решение этой задачи, в котором явно не используется производная.
В математическом классе большое внимание уделяется построению графиков. Поэтому ученик такого класса знает, как ведет себе функция, являющаяся многочленом третьей степени, 
и умеет строить ее график.
Здесь существуют только следующие два различных типа функции: 1) монотонно убывающая функция (см. рис. 1); 2) функция, имеющая только одну точку x1 локального минимума, и только одну точку x2 — локального максимума. При этом 
и 
на каждом из множеств (−∞; x1] и [x2; + ∞) функция монотонно убывает, а в промежутке [x1; x2] — монотонно возрастает (смотри рисунок 2). (На рисунке для упрощения изображения ось y не обозначена.)
Для монотонной функции g(x) условие задачи, очевидно, не выполняется ни при каком соответствующем значении параметра p.
Замечание. Нетрудно видеть, что функция g(x) не может принимать более двух наименьших значений на рассматриваемом отрезке. Действительно, достижение функцией трех наименьших значений обязательно сопровождалось бы наличием двух локальных максимумов, что невозможно для многочлена третьей степени.
Для второго типа функций условие задачи может выполняться только в следующих двух случаях: либо оба минимальных значения функции g(x) на отрезке 
достигаются на концах данного отрезка, либо по крайней мере одно из минимальных значений функции на отрезке достигается во внутренней точке этого отрезка. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.
Предварительно введем вспомогательную функцию 
Очевидно, x = 3 — корень многочлена (1) при любом p. Поэтому этот многочлен разлагается на множители, одним из которых является (x − 3). Для отыскания второго множителя применим схему Горнера.
| −1 | 2p | -2,25p | 27 − 11,25p | |
| 3 | −1 | 2p−3 | 3,75p − 9 | 0 |
т. е.
а) Рассмотрим случай, когда оба наименьших значения функции g(x) на отрезке достигаются на концах данного отрезка. Поскольку для любой внутренней точки x отрезка значение g(x) больше значения функции на конце отрезка, этот случай может реализоваться только так, как показано на рисунках 2 и 3. Отметим, что в этом случае точка x1 локального минимума лежит левее данного отрезка 
или совпадает с левым концом отрезка 
В рассматриваемом случае
В силу (3) число 
является корнем многочлена (1), — наряду с x = 3, т. е. 
или 
Таким образом, рассматриваемый случай может реализоваться только при значении параметра p, приведенном в (4). Однако для данного значения p необходимо еще проверить, будут ли величины (3) действительно наименьшими значениями функции g(x) на рассматриваемом отрезке. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что третий корень x0 многочлена (1) удовлетворяет условию (см. рис. 2) 
или
(Третий действительный корень x0 многочлена (1) существуют потому, что имеются два действительных корня этого многочлена. Здесь, впрочем, допустим случай, когда 
является двойным корнем многочлена, т. е. двойным корнем квадратного трехчлена, см. ниже.)
Очевидно, числа x0 и 
является также корнями квадратного трехчлена в разложении (2). По теореме Виета 
Отсюда 
Проверим выполнение неравенства (5), используя приведенное в (4) значение параметра p,
Последнее выражение отрицательно, поскольку 
Т. е. неравенство (5) выполняется, и рассматриваемый случай действительно реализуется (смотри рисунок 2).
б) Рассмотрим теперь случай, когда по крайней мере одно из наименьших значений функций g(x) на отрезке достигается в некоторой внутренней точке 
отрезка. Пусть 
— вторая точка отрезка, в которой принимается наименьшее значение 
Так как во всех точках x отрезка, кроме и (в частности, во всех точках некоторой проколотой окрестности точки ) 
то совпадает с точкой x1 локального минимума. Отсюда следует, что является правым концом отрезка, т. е. 
(см. рис. 4).
Следовательно, многочлен (1) имеет только два действительных корня x = 3 и x = x1. Это может быть только тогда, когда квадратный трехчлен в разложении (2) или соответствующее квадратное уравнение
имеет единственный корень x = x1. Дискриминант квадратного уравнения (6)
Условие единственности решения уравнения (6) — D = 0: 
откуда p = − 3 или p = 2,25. Соответствующий (единственный) корень уравнения (6) равен 
При p = − 3 
но 
находится левее рассматриваемого отрезка, поскольку 
(так как 
). Поэтому значение p = − 3 не подходит. При p = 2,25 
Поскольку 
то 
причем 
(т. е. кратный корень лежит левее однократного). Поэтому — точка локального минимума функции g(x) (так как только в
точке t0 экстремума функции g(x) уравнение g(x) = g(t0) имеет кратный корень), т. е. 
и мы находимся в пределах рассматриваемого случая (см. рис. 4).
Все возможные случаи нами разобраны.
Ответ: 
II способ. Обозначим наименьшее значение функции g(x) на 
за «a» и рассмотрим функцию 
Необходимо и достаточно, чтобы на функция f(x) имела ровно два корня и в остальных точках была положительна. (Будем называть это основным условием.) Многочлен f(x) третьей степени с отрицательным старшим коэффициентом может иметь:
1) Один действительный корень x0, тогда знаки его значений таковы, как показано на рисунке 5, и выполнение основного условия невозможно.
2) Три различных корня x1, x2, x3 (см. рис. 6). Выполнение основного условия возможно, если только
Таким образом, 
т. е.
По теореме Виета
Покажем, что 
т. е. 
Для этого посчитаем разность
т. к. 
Условие (1) выполнено, и мы получили первую часть ответа: 
3) Два корня x1 и x2, один из которых — двойной кратности. Рассмотрим два случая.
а) Двукратный корень x2 находится справа (см. рис. 7). Выполнение основного условия невозможно.
б) Двукратный корень x1 находится слева (см. рис. 8). Выполнение основного условия возможно, если
По теореме Виета
Решим второе уравнение системы
Если 
то 
(условие (2) выполняется) и 
— еще одно значение ответа. Если 
то 
т. е. 
Ответ:
Задание парного варианта: 2667