РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 2657

Решите систему уравнений $система выражений \log _2 левая круглая скобка xy правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log _2x в квадрате =1, \log _x в квадрате y в квадрате плюс \log _2 левая круглая скобка y плюс 6 правая круглая скобка =4. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Необходимо, чтобы

$система выражений xy больше 0,x в квадрате не равно 1, y больше минус 6. конец системы . \phantom00000000 \qqaud левая круглая скобка 1 правая круглая скобка$

Рассмотрим первое исходное уравнение

$2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка xy правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате = 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате y в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате = 2 равносильно логарифм по основанию 2 y в квадрате = 2 равносильно y в квадрате = 4 равносильно y = \pm 2.$ $2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка xy правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате = 2 равносильно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате y в квадрате правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате = 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 2 y в квадрате = 2 равносильно y в квадрате = 4 равносильно y = \pm 2.$

Оба эти значения могут удовлетворять необходимому условию.

1)  Подставим сначала y  =  − 2 во второе исходное уравнение.

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию 2 4 = 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 4 = 2 равносильно логарифм по основанию 4 x в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x в квадрате = 2 равносильно x = \pm корень из 2 .$ $логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию 2 4 = 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 4 = 2 равносильно$
$равносильно логарифм по основанию 4 x в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x в квадрате = 2 равносильно x = \pm корень из 2 .$

В силу (1) $x = минус корень из 2 .$

2)  Проверим y  =  2.

$логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 4 плюс логарифм по основанию 2 8 = 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 4 = 1 равносильно логарифм по основанию 4 x в квадрате = 1 равносильно x в квадрате = 4 равносильно x = \pm 2.$

В силу (1) x  =  2.

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ; минус 2 правая круглая скобка ; левая круглая скобка 2;2 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2663

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, РФ, 1995 год, работа 2, вариант 1

? Классификатор: Логарифмические уравнения и системы

Сложность: 6 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь