PDF-версии: 
Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 39, а сумма их логарифмов по основанию 3 равна 6. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение. Запишем эти три числа: 
Для существования их логарифмов необходимо и достаточно, чтобы 
Исходя из условий задачи, составим систему двух уравнений с двумя неизвестными a и q
Эти решения удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
то есть 
Таким образом, 
определена и непрерывна на 
и имеет период 
(действительно, 
). Найдем множество значений функции 
оно, очевидно, и есть множество значений функции на 
имеем только два значения — это 
и 
то есть две критические точки, так как 
имеем:
имеем:
получаем, что 
тогда 
уравнение 
имеет решения. При 
уравнение 
не содержит корней уравнения (1), и поэтому, разделив на 
обе части уравнение (2), получим:
Данное уравнение при 
имеет решения, если 
получаем
а 
Найдите все возможные значения, которые может принимать выражение 
где 
Тогда 
и 
удовлетворяющие условиям задачи. Для 
найдите все точки с положительными абсциссами, такие, что площадь фигуры, ограниченная касательной к графику, проведенной через каждую из таких точек, и самим графиком, равнялась 
данная прямая имеет одну общую точку — точку касания 
Действительно, уравнение 
решим уравнение 
тогда 
Имеем:
и точка пересечения — точка 
и суммы двух криволинейных трапеций 
и 
(см. рисунок)
то есть 
при 
и 
при 
то есть графики соответствующих обратных функций.
и параболы 
Так как 
имеем:
получаем
а в старых координатах 
имеет ровно два различных корня?
Для этого, во-первых, дискриминант 
должен быть положительным:
не должен быть равен 0, то есть 
В-третьих , число 
должно находиться левее меньшего корня, а это будет, когда вершина параболы 
а значение 
то есть
