Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2633
i

Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное вы­ра­же­ние:

 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка синус 2x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ко­си­нус 2x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =

= дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус 2x минус ко­си­нус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 синус x минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

где  ко­си­нус \varphi= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби и  синус \varphi = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , то есть \varphi= арк­тан­генс 0,5. Таким об­ра­зом,

 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус \varphi пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: E левая круг­лая скоб­ка f пра­вая круг­лая скоб­ка = левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на  R и имеет пе­ри­од T= Пи (дей­стви­тель­но, f левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка ). Най­дем мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; оно, оче­вид­но, и есть мно­же­ство зна­че­ний функ­ции на  R

f левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус 1=0, f левая круг­лая скоб­ка Пи пра­вая круг­лая скоб­ка =1 минус 1=0,

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =

 минус синус 2x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус 2x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус синус 2x плюс 2 ко­си­нус 2x плюс 2 синус 2x=2 ко­си­нус 2x плюс синус 2x.

Най­дем кри­ти­че­ские точки на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка :

2 ко­си­нус 2x плюс синус 2x=0 рав­но­силь­но тан­генс 2x= минус 2 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка Пи k минус арк­тан­генс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,k при­над­ле­жит Z ;

на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка имеем толь­ко два зна­че­ния  — это x_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка Пи минус арк­тан­генс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и x_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 2 Пи минус арк­тан­генс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть две кри­ти­че­ские точки, так как 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­тан­генс 2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Для x_1 имеем:

 

 синус 2x_1= синус левая круг­лая скоб­ка Пи минус арк­тан­генс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка арк­тан­генс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

 ко­си­нус 2x_1= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

f левая круг­лая скоб­ка x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те x плюс левая круг­лая скоб­ка синус 2x_1 минус ко­си­нус 2x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 синус 2x_1 минус ко­си­нус 2x_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Для x_2 имеем:

 синус 2x_2= синус левая круг­лая скоб­ка 2 Пи минус арк­тан­генс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

 ко­си­нус 2x_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

f левая круг­лая скоб­ка x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 синус 2x_2 минус ко­си­нус 2x_2 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

От­сю­да, с уче­том зна­че­ний функ­ции на кон­цах от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­лу­ча­ем, что E левая круг­лая скоб­ка f пра­вая круг­лая скоб­ка = левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Мы про­де­мон­стри­ро­ва­ли этот спо­соб ре­ше­ния, чтобы по­ка­зать чи­та­те­лю, на­сколь­ко хуже пер­во­го (то есть ис­поль­зо­ва­ние средств диф­фе­рен­ци­аль­но­го ис­чис­ле­ния не все­гда при­во­дит к ра­ци­о­наль­но­му ре­ше­нию).

 

Ответ: E левая круг­лая скоб­ка f пра­вая круг­лая скоб­ка = левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

При­ве­дем еще одно ре­ше­ние.

Пусть f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a, тогда

 ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =a рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус 2x минус ко­си­нус 2x=a рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 2 синус x ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x плюс синус в квад­ра­те x=a рав­но­силь­но

 2 синус x ко­си­нус x плюс синус в квад­ра­те x=a ко­си­нус в квад­ра­те x плюс a синус в квад­ра­те x рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x минус 2 синус x ко­си­нус x плюс a ко­си­нус в квад­ра­те x =0. \qquad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

При a=1 урав­не­ние 2 синус x ко­си­нус x минус ко­си­нус в квад­ра­те x=0 имеет ре­ше­ния. При a не равно 1 урав­не­ние  ко­си­нус x=0 не со­дер­жит кор­ней урав­не­ния (1), и по­это­му, раз­де­лив на  ко­си­нус в квад­ра­те x обе части урав­не­ние (2), по­лу­чим:

 левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус 2t плюс a=0,

где t= тан­генс x. Дан­ное урав­не­ние при a не равно 1 имеет ре­ше­ния, если  дробь: чис­ли­тель: D, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби боль­ше или равно 0, по­лу­ча­ем

1 минус левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка a боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те минус a минус 1 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,a не равно 1. конец си­сте­мы .

 

Ответ: E левая круг­лая скоб­ка f пра­вая круг­лая скоб­ка = левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2639

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 6 из 10