№ 2633 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 17. Наибольшее и наименьшее значение, множество значений
i
Найдите множество значений функции 
Спрятать решениеРешение. Преобразуем исходное выражение:





где

и

то есть

Таким образом,





Ответ: 
Приведем другое решение.
Функция
определена и непрерывна на
и имеет период
(действительно,
). Найдем множество значений функции
на отрезке
оно, очевидно, и есть множество значений функции на 




Найдем критические точки на отрезке 

на отрезке

имеем только два значения — это

и

то есть две критические точки, так как

Для
имеем:








Для
имеем:



Отсюда, с учетом значений функции на концах отрезка
получаем, что 
Мы продемонстрировали этот способ решения, чтобы показать читателю, насколько хуже первого (то есть использование средств дифференциального исчисления не всегда приводит к рациональному решению).
Ответ: 
Приведем еще одно решение.
Пусть
тогда







При
уравнение
имеет решения. При
уравнение
не содержит корней уравнения (1), и поэтому, разделив на
обе части уравнение (2), получим:

где

Данное уравнение при

имеет решения, если

получаем

Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 2639