№ 2636 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Углубленная программа. 24. Интеграл: площади ограничена касательной
i
На графике функции
найдите все точки с положительными абсциссами, такие, что площадь фигуры, ограниченная касательной к графику, проведенной через каждую из таких точек, и самим графиком, равнялась 
Спрятать решениеРешение. Имеем:

Напишем уравнение касательной в точке графика с абсциссой 


С линией
данная прямая имеет одну общую точку — точку касания
Действительно, уравнение

имеет одно решение.
Для нахождения общих точек с графиком функции
решим уравнение

Пусть
тогда
Имеем:

Тогда
и точка пересечения — точка 
Искомая площадь может быть найдена как разность площади прямоугольной трапеции
и суммы двух криволинейных трапеций
и
(см. рисунок)









Согласно условию задачи
то есть

Точка, через которую проведена соответствующая касательная — точка 

Ответ: 
Приведем другое решение.
Рассмотрим графики функций
при
и
при
то есть графики соответствующих обратных функций.
Напишем уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой 


Точка касания — точка 
Найдем координаты точки N пересечения прямой
и параболы 




Таким образом,

Так как

имеем:









Так как площадь фигуры по условию равна
получаем

Таким образом,
а в старых координатах 
Ответ: 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ:

Задание парного варианта: 2642