Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2636
i

На гра­фи­ке функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12,5|x| плюс 3,5x конец ар­гу­мен­та най­ди­те все точки с по­ло­жи­тель­ны­ми абс­цис­са­ми, такие, что пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ная ка­са­тель­ной к гра­фи­ку, про­ве­ден­ной через каж­дую из таких точек, и самим гра­фи­ком, рав­ня­лась  дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Имеем:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = си­сте­ма вы­ра­же­ний 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та ,x мень­ше 0,4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та ,x боль­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

На­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной в точке гра­фи­ка с абс­цис­сой t боль­ше 0:

f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , f' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

y= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус t пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но y= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби x плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та .

С ли­ни­ей y=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та дан­ная пря­мая имеет одну общую точку  — точку ка­са­ния M левая круг­лая скоб­ка t;4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка . Дей­стви­тель­но, урав­не­ние

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та t плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =0

имеет одно ре­ше­ние.

Для на­хож­де­ния общих точек с гра­фи­ком функ­ции y=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та решим урав­не­ние

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та .

Пусть \srqt минус x=u, тогда x= минус u в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка u боль­ше или равно 0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Имеем:

 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби u в квад­ра­те плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та минус 3u=0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та конец дроби u в квад­ра­те плюс 3u минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний u= минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та ,u= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \undersetu боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но u= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тогда x= минус u в квад­ра­те = минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и точка пе­ре­се­че­ния  — точка N левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ис­ко­мая пло­щадь может быть най­де­на как раз­ность пло­ща­ди пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции N_1NMM_1 и суммы двух кри­во­ли­ней­ных тра­пе­ций NN_1O и MOM_1 (см. ри­су­нок)

S_N_1NMM_1= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби N_1M_1 левая круг­лая скоб­ка N_1N плюс MM_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка t плюс дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5t, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 11 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 55t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ,

S_N_1NO= ин­те­грал пре­де­лы: от минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби до 0, левая круг­лая скоб­ка 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка 2x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби до 0, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та ,

S_OMM_1= ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до t, левая круг­лая скоб­ка 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка dx = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до t, = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та .

S_ис­ко­мая= дробь: чис­ли­тель: 55t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 16 минус целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 11, зна­ме­на­тель: 12 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та .

Со­глас­но усло­вию за­да­чи S_ис­ко­мая= целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 , то есть

 дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: t конец ар­гу­мен­та =8 рав­но­силь­но t=4.

Точка, через ко­то­рую про­ве­де­на со­от­вет­ству­ю­щая ка­са­тель­ная  — точка M левая круг­лая скоб­ка 4;8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4;8 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Рас­смот­рим гра­фи­ки функ­ций y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби x в квад­ра­те при x боль­ше или равно 0 и y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби x в квад­ра­те при x боль­ше или равно 0, то есть гра­фи­ки со­от­вет­ству­ю­щих об­рат­ных функ­ций.

На­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби x в квад­ра­те в точке с абс­цис­сой t боль­ше 0:

y левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби t в квад­ра­те , y' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби t,

y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби t в квад­ра­те .

Точка ка­са­ния  — точка M левая круг­лая скоб­ка t; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем ко­ор­ди­на­ты точки N пе­ре­се­че­ния пря­мой y= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби t в квад­ра­те и па­ра­бо­лы y= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби x в квад­ра­те :

 дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби t в квад­ра­те = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби x в квад­ра­те рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби x в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби t в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но 16 x в квад­ра­те плюс 18tx минус 9t в квад­ра­те =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби t, x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби t конец со­во­куп­но­сти . \undersetx боль­ше или равно 0\mathop рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби t.

Таким об­ра­зом, N левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 64 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Так как S_ONM=S_OKN плюс S_NKM, имеем:

S_OKN= ин­те­грал пре­де­лы: от 0 до дробь: чис­ли­тель: 3t, 8, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка dx конец дроби = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 144 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x в кубе , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от 0 до дробь: чис­ли­тель: 3t, 8}= дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 144 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 27t в кубе , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 8 в кубе конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25t в кубе , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни { 13, зна­ме­на­тель: к конец дроби онец дроби ,

S_NKM= ин­те­грал пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби до t, левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби x в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби t в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби ин­те­грал пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби до t, левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус t пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка dx =
= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби левая круг­лая скоб­ка x минус t пра­вая круг­лая скоб­ка в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка | пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: 3t, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби до t, = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 48 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 125t в кубе , зна­ме­на­тель: 8 в кубе конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 125t в кубе , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

S_ONM= дробь: чис­ли­тель: 25t в кубе , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 125t в кубе , зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 200t в кубе , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 13 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 25t в кубе , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 3 конец дроби .

Так как пло­щадь фи­гу­ры по усло­вию равна  дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , по­лу­ча­ем

t в кубе = дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но t в кубе =2 в сте­пе­ни 9 рав­но­силь­но t=2 в кубе рав­но­силь­но t=8.

Таким об­ра­зом, M левая круг­лая скоб­ка 8;4 пра­вая круг­лая скоб­ка , а в ста­рых ко­ор­ди­на­тах M левая круг­лая скоб­ка 4;8 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая фи­гур­ная скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4;8 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2642

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ин­те­грал, вы­чис­ле­ние пло­ща­дей
?
Сложность: 9 из 10