Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2637
i

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b урав­не­ние \log _2x плюс 1 левая круг­лая скоб­ка 3x в квад­ра­те минус bx минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби b пра­вая круг­лая скоб­ка =2 имеет ровно два раз­лич­ных корня?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Дан­ное урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний 3x в квад­ра­те минус bx минус 0,25b= левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,2x плюс 1 боль­ше 0 2x плюс 1 не равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка 4 плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 0,25b плюс 1=0,x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x не равно 0. конец си­сте­мы .

Не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние си­сте­мы имело два раз­лич­ных корня, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям x не равно 0, x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Для этого, во-пер­вых, дис­кри­ми­нант D= левая круг­лая скоб­ка 4 плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 левая круг­лая скоб­ка 0,25b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка дол­жен быть по­ло­жи­тель­ным:

 левая круг­лая скоб­ка 4 плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка b плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 4 плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3 плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний b мень­ше минус 4,b боль­ше минус 3. конец со­во­куп­но­сти .

Во-вто­рых, сво­бод­ный член урав­не­ния 0,25b плюс 1=0 не дол­жен быть равен 0, то есть b не равно минус 4. В-тре­тьих , число  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби долж­но на­хо­дить­ся левее мень­ше­го корня, а это будет, когда вер­ши­на па­ра­бо­лы

y=x в квад­ра­те плюс x левая круг­лая скоб­ка 4 плюс b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 0,25b плюс 1

на­хо­дит­ся пра­вее числа  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а зна­че­ние y левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, то есть

 си­сте­ма вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 4 плюс b, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4 плюс b, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 1 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 плюс b мень­ше 1 ,1 минус 8 минус 2b плюс b плюс 4 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний b мень­ше минус 3,b мень­ше минус 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но b мень­ше минус 3.

На­хо­дим пе­ре­се­че­ние всех мно­жеств чисел b, удо­вле­тво­ря­ю­щих со­от­вет­ству­ю­щим усло­ви­ям (см. ри­су­нок). По­лу­ча­ем:  b мень­ше минус 4.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2643

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 10 из 10