PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
Дана функция 
а) Докажите, что числа x и 
входят (либо не входят) в область определения функции f одновременно 
б) Решите уравнение 
в) Докажите, что для любого натурального числа 
уравнение 
имеет ровно одно решение на 
г) Найдите все такие a, при которых уравнение 
имеет три решения.
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Найдите все такие a, при которых 
в) Найдите все такие a, при которых 
при всех 
г) Найдите все такие a, при которых график функции f имеет центр симметрии.
3. Дана функция 
а) Найдите все такие a, при которых функция f монотонна на луче 
б) Пусть Найдите уравнения касательных к графику данной функции, проходящих через точку 
в) Пусть Найдите все точки оси абсцисс, через которые проходит ровно одна касательная к графику
г) Найдите (при произвольном 
) такое значение 
при котором фигура, ограниченная прямой, касающейся графика функции f в точке с абсциссой самим этим графиком и прямыми 
имеет наименьшую площадь.
4. Пусть a, b, c — длины некоторых отрезков.
а) Докажите, что если 
то треугольник, который можно составить из этих отрезков, остроугольный.
б) Выясните, существует ли треугольник со сторонами 
в) Докажите, что если для любого натурального числа n существует треугольник со сторонами a^n, b^n, c^n, то все эти треугольники равнобедренные.
г) Пусть 
— угол треугольника со сторонами 
(), лежащий против средней из них. Докажите, что последовательность 
монотонна, и вычислите ее предел.
5. Пусть 
— точки плоскости, соответствующие указанным комплексным числам, 
— окружность 
а 
— множество комплексных чисел, заданное неравенством 
а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки 
до точек 
постоянна.
б) Изобразите на плоскости точки 
и множество комплексных чисел вида 
где 
в) Найдите такую точку 
и все такие равносторонние треугольники с вершинами на 
для которых сумма квадратов расстояний от их вершин до E наибольшая.
г) Выясните, верно ли, что для всякой точки w, лежащей в треугольнике ABC, найдется такое число 
Если 
и 
то 
и 
значит, эти числа входят в область определения одновременно. Далее, положив 
получим, что 
то
монотонна на 
то и данная функция монотонна на 
то 
получим уравнение 
Число решений этого уравнения (в зависимости от a) определяется стандартным исследованием функции 
г) 
приводится к виду 
замену 
получим 
изображена на рисунке, график функции f (при 
если 
Далее, 
при 
и так как функция f четна, отсюда следует ответ. 
график функции f — прямая 
— имеет центр симметрии. В случае 
удобно сделать замену 
Точка 
— центр симметрии графика функции 
если 
только при 
Значит, 
и 
а эта система несовместна.
б) 
в) 
г) 0.
на луче 
то 
в уравнение 
после небольших преобразований приходим к уравнению 
откуда 
графика проходит через точку 
если 
входит в искомое множество, если полученное уравнение имеет одно решение. Удобно сделать замену 
приводящую к квадратному уравнению 
Оно имеет единственное положительное решение, если 
Если 
то его решение единственно, однако при 
оно отрицательно. Исследование квадратного уравнения можно провести по-другому, записав его в виде 
и построив график 
при 
(см. рис). 
— точка минимума функции S.
и 
так как 
(неравенство Бернулли)
Если 
то 
начиная с некоторого номера k, что противоречит неравенству треугольника.
то 
Далее, положив 
получим, что 
— монотонная на 
функция.
заданное неравенством\linebreak 
является кругом, диаметр которого совпадает с отрезком 
вещественной оси. Так как 
(умножение на i) и параллельного переноса на вектор, 
поэтому 
при 
реализуется в точке 
треугольник — произвольный; г) да, верно.