PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Найдите наименьшее значение функции y.
в) Решите неравенство 
г) Сколько на графике функции y пар точек, симметричных друг другу относительно начала координат?
2. Дана функция 
а) Выразите y как функцию от 
б) Решите уравнение 
в) Докажите, что при всех значениях x выполняется неравенство 
г) Сколько корней в зависимости от a имеет уравнение 
на отрезке 
3. Множество C точек комплексной плоскости задано уравнением 
а) Нарисуйте множество C.
б) Найдите такие точки 
расстояние от которых до мнимой оси 
в) Найдите множество значений 
при 
г) Найдите множество значений 
в 
при
4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна единице. Обозначим: k1, k2 — отношения длин двух его ребер к третьему; 
—
а) Вычислите 
б) Докажите, что 
при 
в) Пусть 
Найдите наибольшее значение S.
г) Пусть 
a — действительный параметр. При каком значении k2 площадь S наибольшая?
5. Дана функция 
и точка 
а) Найдите координаты точек касания с графиком данной функции тех касательных, которые проходят через точку B.
б) Пусть A — точка касания, у которой меньшая абсцисса, а C — точка на графике с абсциссой 
Найдите площадь S треугольника ABC.
в) Обозначим через s площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезками BC, AB и дугой AC графика данной функции. Покажите, что 
г) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для произвольной точки B подграфика данной функции.
получим 
при 
находим
—
Учитывая, что 
получаем 
и 
графика симметричны относительно начала координат в том и только том случае, если 
и 
то есть 
или 
Имеем:
то 
Косинус монотонен на отрезке 
поэтому число решений данного уравнения на этом отрезке совпадает с числом решений уравнения 
на отрезке 
то есть с числом точек пересечения прямой 
(см. рис.).
одно решение при 
два при 
и радиусом единица (см. рис.).
—
где 
(см. рис.). Так как 
то 
Имеем: 
равносильно 
или 
Имеем: 
—
(нетрудно показать, что при найденном k значение функции g наибольшее).
Эта прямая проходит через точку 
тогда и только тогда, когда 
откуда 
лежит на касательной к графику, проведенной в точке 
поэтому 
Далее, 
