PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Вычислите 
б) Найдите все значения x, при которых график функции 
расположен ниже прямой 
в) Решите уравнение 
г) Найдите все числа a такие, что 
Решение. а) Последовательно получим:
б) Условие задачи просто означает, что 
то есть
в) Обозначим 
тогда получаем 
его корни 
или 
Первое невоможно, поскольку 
Второе сводится к
г) Запишем неравенство в виде 
Тогда во-первых a > 0, а во-вторых при таких a неравенство примет вид 
Ответ: a) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) б) в) г) 
и 
то 
и возведем в квадрат при условии 
либо 
(не годится, условие 
не выполнено).
Если 
или 
то неравенство превращается в 
что верно. Значит, такие x точно войдут в ответ. Если же 
или 
(рассматривать 
бессмысленно, так как для них не определена функция), то 
и на него можно сократить, получим 
б) 
в) 
г) 
параллельной оси абсцисс.
являлась первообразной функции 
имеет только корень −4, при этом 
положительно на отрезке 
и отрицательно на отрезке 
значит, исходная функция возрастает на 
и убывает на 
Поэтому наименьшее значение у нее 
а наибольшее достигается в одном из концов отрезка:
получим, что единственный ее корень это 
Функия определена на всем отрезке, вертикальных асимптот не имеет. Монотонность ее уже исследована в п. б). Осталась выпуклость. Возьмем вторую производную.
поэтому функция выпукла вверх. Осталось построить график. 
нужно взять 
б) наименьшее значение 
Вычислите 
из отрезка 
x не является корнем уравнения. Поэтому можно поделить уравнение на 
потери корней не произойдет. Получим 
(см. пункт а). Обозначим временно 
тогда 
и отметим, что при 
будет 
поэтому 
— убывающая функция, причем 
и 
аналогично при 
будет 
поэтому 
и 
Поэтому 
Поэтому 
в) 