Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1959

3. Дана функция f(x)= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби .

а) Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), параллельной оси абсцисс.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на отрезке [ минус 5; минус 1].

в) Постройте график функции y=f(x) на отрезке [ минус 5; минус 1].

г) Определите число a так, чтобы функция F(x)=\ln x плюс дробь: числитель: a, знаменатель: x конец дроби являлась первообразной функции y=f(x) на луче (0; плюс принадлежит fty ).

Спрятать решение

Решение.

а) Возьмем сначала производную этой функции. Получим

f'(x)=(x в степени ( минус 1) плюс 2x в степени ( минус 2) )'= минус 1 умножить на x в степени ( минус 2) плюс 2 умножить на ( минус 2) умножить на x в степени ( минус 3) = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: x в кубе конец дроби = минус дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x в кубе конец дроби .

Если касательная параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент (он же значение производной в точке касания) равен нулю. Уравнение  минус дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x в кубе конец дроби имеет только корень −4, при этом

f( минус 4)= дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: ( минус 4) в квадрате конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

Значит, уравнение касательной в этой точке имеет вид y=0(x плюс 4) минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно y= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .

б) Выражение  минус дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x в кубе конец дроби положительно на отрезке ( минус 4; минус 1] и отрицательно на отрезке [ минус 5; минус 4), значит, исходная функция возрастает на [ минус 4; минус 1] и убывает на [ минус 5; минус 4]. Поэтому наименьшее значение у нее f( минус 4)= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , а наибольшее достигается в одном из концов отрезка:

f( минус 1)= дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 1 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 1 конец дроби = минус 1 плюс 2=1,

f( минус 5)= дробь: числитель: 1, знаменатель: минус 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 25 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 25 конец дроби = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 25 конец дроби .

в) Исследуем функцию на этом отрезке чуть более подробно. Записав ее в виде  дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби получим, что единственный ее корень это x= минус 2. Функия определена на всем отрезке, вертикальных асимптот не имеет. Монотонность ее уже исследована в п. б). Осталась выпуклость. Возьмем вторую производную.

f''(x)=( минус 1 умножить на x в степени ( минус 2) плюс 2 умножить на ( минус 2) умножить на x в степени ( минус 3) )'=( минус x в степени ( минус 2) минус 4x в степени ( минус 3) )'=
= минус ( минус 2)x в степени ( минус 3) минус 4 умножить на ( минус 3)x в степени ( минус 4) =2x в степени ( минус 3) плюс 12x в степени ( минус 4) = дробь: числитель: 2, знаменатель: x в кубе конец дроби плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби = дробь: числитель: 2x плюс 12, знаменатель: x в степени 4 конец дроби .

Что положительно при всех x принадлежит [ минус 5; минус 1], поэтому функция выпукла вверх. Осталось построить график.

г) Последовательно получим:

 F'(x)=(\ln x плюс дробь: числитель: a, знаменатель: x конец дроби )'=(\ln x плюс ax в степени ( минус 1) )'= дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс a умножить на ( минус 1)x в степени ( минус 2) = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: a, знаменатель: x в квадрате конец дроби .

Чтобы это выражение совпадало с f(x), нужно взять a= минус 2.

 

Ответ: а)  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , б) наименьшее значение  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби , наибольшее 1, г) a= минус 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1964

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1
? Классификатор: Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции, Касательная к графику функции, Построение графиков функций, графиков уравнений
?
Сложность: 5 из 10