Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1957

1. Дана функция f(x)=5 в степени (x плюс 1) .

а) Вычислите f левая круглая скобка \log _5 дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .

б) Найдите все значения x, при которых график функции y=f(x) расположен ниже прямой y= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби

в) Решите уравнение 3f(x)=2f в квадрате (x) минус 5.

г) Найдите все числа a такие, что f(\log _5a) меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно получим:

f левая круглая скобка логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка =5 умножить на 5 в степени ( логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 ) =5 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .

б) Условие задачи просто означает, что f(x) меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , то есть

5 умножить на 5 в степени x меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 5 в степени x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x меньше логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 .

в) Обозначим f(x)=t, тогда получаем 3t=2t в квадрате минус 5, его корни t= минус 1 или t= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . Первое невоможно, поскольку 5 в степени (x плюс 1) больше 0. Второе сводится к

5 умножить на 5 в степени x = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 5 в степени x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 .

г) Запишем неравенство в виде 5 умножить на 5 в степени ( логарифм по основанию 5 a) меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби . Тогда во-первых a > 0, а во-вторых при таких a неравенство примет вид 5a больше дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби равносильно a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: a)  дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , б)  левая круглая скобка минус принадлежит fty; логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 правая круглая скобка , в) \left \ логарифм по основанию целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 \. г) a дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1962

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1
? Классификатор: Показательные неравенства, Показательные уравнения и их системы
?
Сложность: 5 из 10