Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1960
i

4.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус в квад­ра­те x минус 3 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x.

а)  До­ка­жи­те тож­де­ство  дробь: чис­ли­тель: 2f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x конец дроби = тан­генс в квад­ра­те x минус 3 тан­генс x плюс 2.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

в)  Пусть g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка . Вы­чис­ли­те g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все ре­ше­ния не­ра­вен­ства g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби из от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим:

 дробь: чис­ли­тель: 2f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­си­нус 2x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x минус 3 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те x минус 3 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те x минус 3 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 синус x ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус в квад­ра­те x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус в квад­ра­те x конец дроби = тан­генс в квад­ра­те x минус 3 тан­генс x плюс 2.

б)  Ясно что при  ко­си­нус x=0 x не яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния. По­это­му можно по­де­лить урав­не­ние на  ко­си­нус в квад­ра­те x, по­те­ри кор­ней не про­изой­дет. По­лу­чим  тан­генс в квад­ра­те x минус 3 тан­генс x плюс 2=0 (см. пункт а). Обо­зна­чим вре­мен­но  тан­генс x=t, тогда

t в квад­ра­те минус 3t плюс 2=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t=2 конец со­во­куп­но­сти . \underset тан­генс x = t\mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний тан­генс x=1, тан­генс x =2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= арк­тан­генс 2 плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

в)  Имеем:

g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= синус в квад­ра­те x минус 3 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка  плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =
= синус в квад­ра­те x минус 3 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те x минус 3 ко­си­нус x синус x плюс 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= синус в квад­ра­те x минус 3 синус x ко­си­нус x плюс 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус в квад­ра­те x плюс 3 ко­си­нус x синус x минус 2 синус в квад­ра­те x= ко­си­нус в квад­ра­те x минус синус в квад­ра­те x= ко­си­нус 2x.

По­это­му g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

г)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде  ко­си­нус 2x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и от­ме­тим, что при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка будет 2x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­это­му  ко­си­нус 2x  — убы­ва­ю­щая функ­ция, при­чем  ко­си­нус 0=1,  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  ко­си­нус Пи = минус 1, ана­ло­гич­но при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка будет 2x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , по­это­му  ко­си­нус 2x  — воз­рас­та­ю­щая функ­ция, при­чем  ко­си­нус Пи = минус 1,  ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби и  ко­си­нус 2 Пи =1. По­это­му  ко­си­нус 2x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при усло­вии 2x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­это­му x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: б)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k; арк­тан­генс 2 плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка , в) g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . г) x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1965

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2000 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 5 из 10