Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1960

4. Дана функция f(x)= синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x.

а) Докажите тождество  дробь: числитель: 2f(x), знаменатель: 1 плюс косинус 2x конец дроби =tg в квадрате x минус 3 тангенс x плюс 2.

б) Решите уравнение f(x)=0.

в) Пусть g(x)=f(x) минус f левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка . Вычислите g левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .

г) Найдите все решения неравенства g(x) больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби из отрезка [0; Пи ].

Спрятать решение

Решение.

а) Последовательно получим:

 дробь: числитель: 2f(x), знаменатель: 1 плюс косинус 2x конец дроби = дробь: числитель: 2( синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x), знаменатель: 1 плюс 2 косинус в квадрате x минус 1 конец дроби = дробь: числитель: 2( синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x), знаменатель: 2 косинус в квадрате x конец дроби =
= дробь: числитель: синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = дробь: числитель: синус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби минус дробь: числитель: 3 синус x косинус x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби плюс дробь: числитель: 2 косинус в квадрате x, знаменатель: косинус в квадрате x конец дроби = тангенс в квадрате x минус 3 тангенс x плюс 2.

б) Ясно что при  косинус x=0 x не является корнем уравнения. Поэтому можно поделить уравнение на  косинус в квадрате x, потери корней не произойдет. Получим  тангенс в квадрате x минус 3 тангенс x плюс 2=0 (см. пункт а). Обозначим временно  тангенс x=t, тогда

t в квадрате минус 3t плюс 2=0 равносильно (t минус 1)(t минус 2)=0 равносильно совокупность выражений t=1,t=2 конец совокупности . \underset тангенс x = t\mathop равносильно совокупность выражений тангенс x=1, тангенс x =2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k,x=\arctg 2 плюс Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

в) Имеем:

g(x)=f(x) минус f( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x)=
= синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x минус ( синус в квадрате ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x) минус 3 синус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x) косинус ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x) плюс 2 косинус в квадрате ( дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x))=
= синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x минус ( косинус в квадрате x минус 3 косинус x синус x плюс 2 синус в квадрате x)=
= синус в квадрате x минус 3 синус x косинус x плюс 2 косинус в квадрате x минус косинус в квадрате x плюс 3 косинус x синус x минус 2 синус в квадрате x= косинус в квадрате x минус синус в квадрате x= косинус 2x.

Поэтому g левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби .

г) Запишем неравенство в виде  косинус 2x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и отметим, что при x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка будет 2x принадлежит [0; Пи ], поэтому  косинус 2x — убывающая функция, причем  косинус 0=1,  косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и  косинус Пи = минус 1, аналогично при x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка будет 2x принадлежит левая квадратная скобка Пи ;2 Пи правая квадратная скобка , поэтому  косинус 2x — возрастающая функция, причем  косинус Пи = минус 1,  косинус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби и  косинус 2 Пи =1. Поэтому  косинус 2x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби при условии 2x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ;2 Пи правая квадратная скобка . Поэтому x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

 

Ответ: б) \left \ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k;\arctg 2 плюс Пи k : k принадлежит Z \, в) g левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка = косинус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: корень из (2) , знаменатель: 2 конец дроби . г) x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1965

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 1
? Классификатор: Тригонометрические неравенства, Тригонометрические уравнения
?
Сложность: 5 из 10