PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Сравните числа 
и 
г) Укажите ординаты всех таких точек графика функции 
что для каждой из них расстояние от нее до другой точки графика функции 
с той же ординатой не меньше 2 и не больше 4.
Решение. Преобразуем исходную функцию:
а) Решим уравнение:
б) Решим неравенство:
в) Заметим, что функция
поэтому она убывает при 
и возрастает при 
Поскольку 
и 
будет достаточно сравнить сами эти числа какое из них меньше, то и даст большее значение функции
). Значит, 
г) Если у двух точек графика одинаковые ординаты, значит, для двух различных значений аргумента функция принимает одинаковые значения. Очевидно, если 
то и 
то есть либо 
(тогда 
и это одна и та же точка), либо 
тогда 
Итак, аргументы с таким свойством должны быть связаны соотношением 
или иначе 
Тогда условие задачи запишется в виде 
(расстояние между точками графика измеряется по горизонтали, поскольку ординаты точек одинаковы)
Теперь нужно понять, какие ординаты могут быть у точек графика с такими абсциссами
Ответ: 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) б) в) г) а) б) в) г) 
на отрезке 
откуда 
или 
то есть 
или 
получаем 
тогда получим 
при всех 
Кроме того, 
во всех случаях, кроме тех, когда 
положителен всегда, а множитель 
— всегда кроме точки 
Поскольку 
возрастает на 
и убывает на 
а кроме того 
в данное неравенство подходят 
принимает все значения на 
Поэтому осталось определить область значений функции 
на отрезке 
и возьмем ее производную
и отрицательно при 
Значит, 
возрастает при 
и убывает при 
При этом 
и 
(см. пункт б). Поэтому областью значений функции будет отрезок 
б) 
в) 
г) 
и множество M комплексных чисел, удовлетворяющих условию 
Точка K комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу z, обозначается 
Найдите все корни уравнения 
принадлежащие множеству M.
где 
Найдите все вещественные числа a, при которых уравнение 
имеет такой корень 
что в четырехугольник OABC можно вписать окружность.
Пусть 
тогда 
(см. рисунок).
получаем уравнение 
запишем его в виде 
Тогда 
То есть в этом множестве лежат точки, у которых координаты отличаются только знаком. Значит, это прямая 
(см. рисунок).
Пусть далее 
обязаны иметь вид 
(но не все такие могут подходить, поскольку может не получаться выпуклого четырехугольника). Подставим такое 
и 
Второе уравнение дает 
или 
то 
эта точка в любом случае не подходит, можно даже не искать a.
то первое уравнение превращается в 
или 
Нетрудно видеть (см. рис.), что первая точка не подходит (поскольку O оказывается внутри треугольника ABC), вторая подходит. Для нее 
в) см. рис.; г) 
удовлетворяющих условию 
таких, что 
оно не определено, а при 
оно выполнено, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. При 
можно возвести неравенство в квадрат.
можно сократить на 
и получить неравенство 
откуда 
Окончательно 
тогда 
Получаем 
то есть при 
откуда 
(см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций 
и 
и отметить все точки, лежащие между ними при условии 
Ясно, что графики 
и 
отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики 
поэтому достаточно построить 
а для построения 
просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку 
то есть 
при 
а числитель положителен если 
то есть 
Значит, эта функция возрастает при 
и убывает при 
(а точка 
поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет 
б) 2; в) см. рис.; г) 
делится без остатка на многочлен 
Определите вероятность того, что при этом значении a число 
является корнем многочлена 
в том и только в том случае, когда он имеет корни 1 и −1. Подставим их.
получим 
получим 
получим
и по условию 
тогда 
и корни 
Второй случай 
— этот случай не реализуется. Третий случай 
тогда 
и корни 
оказалось равно 1, то есть 
или 
При этом второе из этих чисел оказывается не равно единице (так что корень будет именно кратности 2, а не 3). Итак, нам подходят 2 числа из 9 целых чисел отрезка 
б) 1; в) 
г)