Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1871
i

3В. Дан мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус 3 левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те плюс 8a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 2a в квад­ра­те минус 5a,  a при­над­ле­жит R .

а)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся без остат­ка на мно­го­член  Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 1.

б)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет три ве­ще­ствен­ных корня (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), сумма ко­то­рых равна 9.

в)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет три ве­ще­ствен­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

г)  Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют число a из мно­же­ства целых чисел, при­над­ле­жа­щих от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 6;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при этом зна­че­нии a число  x=1 яв­ля­ет­ся кор­нем мно­го­чле­на  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка крат­но­сти два.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Мно­го­член де­лит­ся на x в квад­ра­те минус 1= левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в том и толь­ко в том слу­чае, когда он имеет корни 1 и −1. Под­ста­вим их.

При x=1 по­лу­чим

1 минус 3 левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те плюс 8a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2a в квад­ра­те минус 5a=0 рав­но­силь­но 1 минус 3a минус 6 плюс 2a в квад­ра­те плюс 8a плюс 5 минус 2a в квад­ра­те минус 5a=0 рав­но­силь­но 0=0,

вы­пол­не­но все­гда.

При x= минус 1 по­лу­чим

 минус 1 минус 3 левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те плюс 8a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2a в квад­ра­те минус 5a=0 рав­но­силь­но минус 1 минус 3a минус 6 минус 2a в квад­ра­те минус 8a минус 5 минус 2a в квад­ра­те минус 5a=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но минус 4a в квад­ра­те минус 16a минус 12=0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс 4a плюс 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a= минус 1,a= минус 3. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: a при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1; минус 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

б)  Вос­поль­зу­ем­ся тем, что x=1 все­гда яв­ля­ет­ся кор­нем и вы­де­лим мно­жи­тель x минус 1, по­лу­чим

x в кубе минус 3 левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те плюс 8a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 2a в квад­ра­те минус 5a=x в кубе минус 3ax в квад­ра­те минус 6x в квад­ра­те плюс 2a в квад­ра­те x плюс 8ax плюс 5x минус 2a в квад­ра­те минус 5a=
=x в кубе минус x в квад­ра­те минус 3ax в квад­ра­те плюс 3ax минус 5x в квад­ра­те плюс 5x плюс 2a в квад­ра­те x минус 2a в квад­ра­те плюс 5ax минус 5a=
= x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3ax левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 5x левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2a в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 5a левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 3ax минус 5x плюс 2a в квад­ра­те плюс 5a пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 3a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс a левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда его корни это 1,a,2a плюс 5 и по усло­вию

1 плюс a плюс 2a плюс 5=9 рав­но­силь­но 3a=3 рав­но­силь­но a=1.

в)  Тео­ре­ти­че­ски воз­мож­ны три си­ту­а­ции  — какой из кор­ней будет сред­ним чле­ном про­грес­сии. Пер­вый слу­чай 1 плюс a=2 левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда a= минус 3 и корни 1, минус 1, минус 3. Вто­рой слу­чай 1 плюс 2a плюс 5=2a рав­но­силь­но 6=0  — этот слу­чай не ре­а­ли­зу­ет­ся. Тре­тий слу­чай a плюс 2a плюс 5=2 умно­жить на 1, тогда a= минус 1 и корни  минус 1,1,3.

Ответ: a= минус 1 или a= минус 3.

г)  Нужно, чтобы одно из чисел a или 2a плюс 5 ока­за­лось равно 1, то есть a=1 или a= минус 2. При этом вто­рое из этих чисел ока­зы­ва­ет­ся не равно еди­ни­це (так что ко­рень будет имен­но крат­но­сти 2, а не 3). Итак, нам под­хо­дят 2 числа из 9 целых чисел от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 6;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1; минус 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) 1; в)  минус 3; г)  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1876

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2000 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: За­да­чи о мно­го­чле­нах, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10