№ 1870 
Санкт-петербургские выпускные экзамены. Углубленная программа. 5. Иррациональности
i
Решение. а) Решим неравенство:
Ясно, что при 
оно не определено, а при 
оно выполнено, поскольку левая часть неотрицательна, а правая отрицательна. При 
можно возвести неравенство в квадрат.
Поскольку 
можно сократить на 
и получить неравенство 
откуда 
Окончательно 
б) Обозначим временно 
тогда 
Получаем
причем значение 2 достигается при
то есть при
Ответ: 2.
в) Неравенство можно переписать в виде
Значит, во-первых 
откуда 
(см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций 
и 
и отметить все точки, лежащие между ними при условии 
Ясно, что графики 
и 
отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики и 
поэтому достаточно построить 
а для построения 
просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку 
Строим график 
то есть 
при Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при 
а числитель положителен если 
то есть 
Значит, эта функция возрастает при 
и убывает при 
(а точка 
является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную
поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:
Ясно, что
поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет
Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь
Аналогично левая часть имеет площадь
Значит, искомая вероятность равна 
Ответ:а) 
б) 2; в) см. рис.; г) 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 2.
в) Неравенство можно переписать в виде
Значит, во-первых откуда (см. пункт а), а во-вторых, нужно построить графики функций и и отметить все точки, лежащие между ними при условии Ясно, что графики и отличаются симметрией относительно горизонтальной оси, как и графики и поэтому достаточно построить а для построения просто перевернуть его и сдвинуть вверх на 2, поскольку
Строим график то есть при Возьмем производную данной функции
Знаменатель всегда положителен при а числитель положителен если то есть Значит, эта функция возрастает при и убывает при (а точка является точкой минимума). При этом
Возьмем вторую производную
поэтому функция на всем промежутке выпукла вниз.
Найдем корни функции, решив уравнение:
Ясно, что
поэтому будет посторонним корнем. Так что единственным подходящим будет
Осталось построить график и выполнить с ним указанные преобразования, чтобы построить второй график.
г) Разобъем построенную в пункте в фигуру вертикальным отрезком прямой на две части. По геометрическому определению вероятности нам нужно будет найти отношение площади правой части к площади всей фигуры. Вычислим отдельно площади правой и левой части.
Правая часть имеет площадь
Аналогично левая часть имеет площадь
Значит, искомая вероятность равна а) б) 2; в) см. рис.; г)
Задание парного варианта: 1875
удовлетворяющих условию 
таких, что 