Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

2.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­си­нус 2x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

б)  Вы­чис­ли­те  f левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1 минус синус x, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ную функ­цию:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x= синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =
= дробь: чис­ли­тель: 1 минус синус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1 минус синус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 синус в квад­ра­те x= синус в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде  синус в квад­ра­те x левая круг­лая скоб­ка 1 минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0, от­ку­да  синус x=0 или  синус x=1, то есть x= Пи k или x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  По­сколь­ку  синус левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­лу­ча­ем

f левая круг­лая скоб­ка арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби .

в)  Обо­зна­чим  синус x=t, тогда по­лу­чим

t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1 минус t, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но 4t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 4t в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 2t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0.

За­ме­тим, что t= синус x боль­ше 0 при всех x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Кроме того, 1 минус t боль­ше 0 во всех слу­ча­ях, кроме тех, когда  синус x=1, что на ука­зан­ном от­рез­ке про­ис­хо­дит лишь при x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но мно­жи­тель 2t плюс 1 по­ло­жи­те­лен все­гда, а мно­жи­тель  левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка   — все­гда кроме точки x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Со­кра­тим на эти мно­жи­те­ли. Оста­нет­ся не­ра­вен­ство 2t минус 1 боль­ше 0 рав­но­силь­но t боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­сколь­ку  синус x воз­рас­та­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет на  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , а кроме того  синус 0=0,  синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1,  синус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , в дан­ное не­ра­вен­ство под­хо­дят x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Окон­ча­тель­ный ответ x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  При x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка t= синус x при­ни­ма­ет все зна­че­ния на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­это­му оста­лось опре­де­лить об­ласть зна­че­ний функ­ции t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Рас­смот­рим функ­цию g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка и возь­мем ее про­из­вод­ную

g' левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 1 минус t пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '= левая круг­лая скоб­ка t в квад­ра­те минус t в кубе пра­вая круг­лая скоб­ка '=2t минус 3t в квад­ра­те =t левая круг­лая скоб­ка 2 минус 3t пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что по­ло­жи­тель­но при t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и от­ри­ца­тель­но при t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Зна­чит, g левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка воз­рас­та­ет при t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет при t при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При этом g левая круг­лая скоб­ка 0 пра­вая круг­лая скоб­ка =g левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 и g левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби (см. пункт б). По­это­му об­ла­стью зна­че­ний функ­ции будет от­ре­зок  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k: k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби ; в)  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; г)  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1873

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2000 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния в три­го­но­мет­рии, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 9 из 10