PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Найдите все такие числа b, что 
б) Пусть 
Решите неравенство 
в) Пусть Найдите промежутки монотонности функции 
г) Найдите все такие b, что множество значений, принимаемых функцией 
при 
из области ее определения, содержит луч 
Решение. а) Подставим 
в функцию. Получим 
откуда 
т. е. 
б) Запишем неравенство 
и преобразуем его
в) Рассмотрим сначала функцию 
Это квадратный трехчлен, графиком которого служит парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной при 
Значит, эта функция возрастает при 
и убывает 
Поскольку 
—
положительно:
Значит, при 
функция возрастает, а при 
функция убывает.
г) Заметим, что при любом b функция 
это квадратный трехчлен, графиком которого служит парабола с ветвями, направленными вниз и вершиной при Значит, эта функция возрастает 
Тогда 
определена на интервале между корнями этой функции, причем в окрестности концов интервала принимает сильно отрицательные значения (поскольку 
По непрерывности этой функции достаточно принимать в какой-то еще точке значение 2, а для этого по монотонности ей достаточно принимать значение, не меньшее 2, при 
Итак:
Ответ: а) 
б) 
в) на 
функция возрастает, на 
—
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) на функция возрастает, на — б) в) на функция возрастает, на —
на отрезке 
такие, что одновременно выполняются равенства 
имеющих абсциссу из отрезка 
и таких, что на расстоянии 
от них имеется точка графика функции 
с такой же ординатой.
и преобразуем его
и преобразуем его аналогично пункту а. Получим 
и отрицателен при 
Второй множитель отрицателен при 
(из отрицательного числа вычитают положительное), положителен при 
(из положительного числа вычитают отрицательное) и возрастает при 
(из возрастающей функции вычитают убывающую), причем равен нулю при 
(см. пункт а). Значит, на самом деле он отрицателен 
Знаки множителей совпадают 
либо 
либо 
что невозможно, т. к. в предыдущем уравнении обнуляется знаменатель. Если 
отсюда 
т. е. 
что тоже невозможно из-за знаменателя.
—
Оно уже было решено в пункте а) и имеет корни 
на указанном промежутке. Но для двух последних получаем 
что невозможно. Итого, 
Итак, нам нужны такие x, для 
дает 
То есть либо 
где нет точек на 
либо 
т. е. 
Из них на 
лежит только 
дает 
где нет точек 
т. е. 
Из них на 
б) 
в) 
г) 
Изобразите на комплексной плоскости совокупность всех чисел u.
Найдите вероятность того, что при 
тогда 
означает, что 
откуда 
и 
то есть 
Значит, 
или 
То есть 
или 
дает 
то есть 
и радиусом 
Эта окружность изображена на левом рисунке.
то 
То есть нужно взять все точки, лежащие на единичной окружности 
и сдвинуть их вправо на 1. Получится окружность радиуса 1 с центром в точке 
Эта окружность изображена на правом рисунке.
или треть окружности.
Значит, с вероятностью 
случайно выбранная на ней точка (а выбирать точку сразу на ней или выбирать точку на окружности 
удовлетворяющими условиям 
и 
и 
поэтому уравнение касательной имеет вид 
или 
и преобразуем его
в точке с абсциссой 
этот многочлен наверняка делится на 
Получим
и 
Эту полосу пересекают графики 
причем 
ни в одной точке промежутка 
не выполняется. Поскольку 
и отрицательно при 
то функция 
и возрастает на 
при этом 
выполнено неравенство 
Значит, 
Для доказательства этого неравенства требуется изначально взять e минимум с тремя знаками после запятой и после этого довольно точно оценивать получаемые числа (посчитать их напрямую не выйдет, а разница между ними примерно 
от любого из них).
б) 
и 
Решите неравенство 
определена на всей вещественной оси.
следует из условия 
имеет единственное решение.
Ясно, что 
иначе неравенство не определено, и 
иначе корень должен быть меньше отрицательного числа, что невозможно. При 
можно возвести неравенство в квадрат
получаем окончательно 
выполнялось при всех x, а для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена 
был неположительный. Вычислим его
то есть чтобы при 
выполнялось равенство 
Подставим это значение
будут корни уравнений 
и 
если для них определены обе функции. Найдем корни этих уравнений. Корнем первого будет 
а корнями второго 
и 
Выясним теперь, когда эти корни удовлетворяют уравнению 
При 
или при 
При 
и 
то есть такое x подходит при 
или при 
При 
имеем 
то есть такое x подходит при 
или при 
при 
при 
и 
при 
Тогда при 
имеются как минимум два различных корня 
При 
При 
есть только корень 
При 
есть только корень 
есть только корень 
б) 
в) 
г) 