а)  По­сколь­ку

то и по­это­му урав­не­ние ка­са­тель­ной имеет вид или

б)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде и пре­об­ра­зу­ем его

Раз­ло­жим мно­го­член в чис­ли­те­ле на мно­жи­те­ли. По­сколь­ку по пунк­ту а гра­фик ка­са­ет­ся пря­мой в точке с абс­цис­сой этот мно­го­член на­вер­ня­ка де­лит­ся на По­лу­чим

Поль­зу­ясь ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим ответ

в)  Опи­сан­ное этой си­сте­мой мно­же­ство точек пред­став­ля­ет собой часть вер­ти­каль­ной по­ло­сы, огра­ни­чен­ной вер­ти­каль­ны­ми пря­мы­ми и Эту по­ло­су пе­ре­се­ка­ют гра­фи­ки и при­чем гра­фик про­хо­дит выше, по­сколь­ку не­ра­вен­ство ни в одной точке про­ме­жут­ка не вы­пол­ня­ет­ся. По­сколь­ку

что по­ло­жи­тель­но при и от­ри­ца­тель­но при то функ­ция убы­ва­ет на и воз­рас­та­ет на при этом

По этим дан­ным можно по­стро­ить гра­фик. Он и ис­ко­мое мно­же­ство изоб­ра­же­но на ри­сун­ке (см. рис.).

г)  При вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Зна­чит,

Ком­мен­та­рий. Если вы­чис­лить ин­те­грал на­пря­мую, по­лу­чит­ся

Для до­ка­за­тель­ства не­ра­вен­ства можно све­сти его к тому, что Для до­ка­за­тель­ства этого не­ра­вен­ства тре­бу­ет­ся из­на­чаль­но взять e ми­ни­мум с тремя зна­ка­ми после за­пя­той и после этого до­воль­но точно оце­ни­вать по­лу­ча­е­мые числа (по­счи­тать их на­пря­мую не вый­дет, а раз­ни­ца между ними при­мер­но от лю­бо­го из них).

Ответ: а) б) в) см. рис.; г)